Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos:
P(0,2) e r:lx=3 t+2 y=4 t-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância do ponto P(0,2) a reta r dada em forma paramétrica. Isso é um problema de distância ponto–reta, que podemos resolver usando geometria vetorial: precisamos de um ponto A qualquer na reta e do vetor diretriz da reta.

Passo 2

Para extrair um ponto A na reta r, basta tomar t=0. Assim, A=(2,−1). O vetor diretriz da reta é v=(3,4), vindo dos coeficientes de t em x=3t+2 e y=4t−1.

Passo 3

Agora montamos o vetor
AP=P-A=(0-2,,2-(-1))=(-2,3)

Passo 4

Em seguida calculamos o determinante (que em 2D equivale à “área” do paralelogramo):
l|det(AP,vec v)r| =l|(-2)cdot4 - 3cdot3r| =| -8 - 9|=17

Passo 5

Depois calculamos o módulo do vetor diretriz:
|vec v|=raiz3^2+4^2=5

Passo 6

Finalmente, pela fórmula da distância ponto–reta em 2D, temos
dist(P,r)=l|det(AP,vec v)r||vec v| =175

Resposta

175

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