Questão 20. Mostre que dados vetores e quaisquer, tem-se

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar a identidade envolvendo normas e produto interno:

Passo 2

Pela definição de norma induzida por produto interno, temos
|vec u-vec v|^2=lang<=vec u-vec v,vec u-vec vrang<=

Passo 3

Usando a bilinearidade do produto interno no primeiro fator, escrevemos
lang<=vec u-vec v,vec u-vec vrang<==lang<=vec u,vec u-vec vrang<=-lang<=vec v,vec u-vec vrang<=

Passo 4

Em cada produto interno restante, distribuímos novamente:
lang<=vec u,vec u-vec vrang<==lang<=vec u,vec urang<=-lang<=vec u,vec vrang<=, lang<=vec v,vec u-vec vrang<==lang<=vec v,vec urang<=-lang<=vec v,vec vrang<=

Passo 5

Como o produto interno é simétrico ( lang<=vec v,vec urang<==lang<=vec u,vec vrang<=), substituímos e agrupamos termos semelhantes para concluir
|vec u-vec v|^2=|vec u|^2-2lang<=vec u,vec vrang<=+|vec v|^2

Resposta

|vec u-vec v|^2=|vec u|^2-2lang<=vec u,vec vrang<=+|vec v|^2.

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