Calcule a distância do ponto P0=(1,2,3) ao plano H de equação 5 x-y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P0=(1,2,3) ao plano H de equação
5x - y + z = 0
O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para um ponto (x0,y0,z0) e um plano dado por
ax + by + cz + d = 0,
a distância D é
D = l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 3

No nosso plano temos a=5, b=-1, c=1 e d=0. Substituindo o ponto P0=(1,2,3) no numerador:
N = acdot1 + bcdot2 + ccdot3 + d = 5cdot1 + (-1)cdot2 + 1cdot3 + 0 = 5 - 2 + 3 = 6

Passo 4

O denominador é
raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz5^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz25 + 1 + 1 = raiz27 = 3raiz3
Logo a distância é
D = |6|3raiz3 = 63raiz3 = 2raiz3
Racionalizando, temos
D = 2raiz33

Resposta

A distância de P0 ao plano H é 2raiz33.

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