Calcule a distância do ponto P0=(1,2,3) ao plano H que passa pela origem e é paralelo aos vetores V=(1,2,3) e W=(1,2,7).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P0=(1,2,3) a um plano H que passa pela origem e é paralelo aos vetores V=(1,2,3) e W=(1,2,7). Para resolver, vamos usar geometria analítica no espaço:
  1. Encontrar o vetor normal N ao plano via produto vetorial VtimesW.
  2. Aplicar a fórmula da distância de um ponto a um plano passando pela origem:
dist(P0,H)=l|Ncdot P0r||N|

Passo 2

Calculamos o vetor normal N=VtimesW. Usando a regra do produto vetorial:
N =VtimesW =l(2cdot7-3cdot2,;3cdot1-1cdot7,;1cdot2-2cdot1r) =(8,,-4,,0)
Em seguida, seu módulo é
|N| =raiz8^2+(-4)^2+0^2 =raiz64+16 =raiz80 =4raiz5

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar Ncdot P0 e a distância:
Ncdot P0 =8cdot1+(-4)cdot2+0cdot3 =8-8+0 =0,
dist(P0,H) =l|Ncdot P0r||N| =|0|4raiz5 =0

Resposta

A distância de P0 ao plano H é 0.

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