Considere o plano H de equação 2 x+3 y-4 z+1=0 e o plano G de equação 10 x+15 y-20 z+5=0.
(a) Os planos H e G são paralelos? Justifique.
(b) Em caso afirmativo, são paralelos coincidentes ou são paralelos distintos? Justifique.
(c) Calcule a distância entre H e G.

Passo 1

O enunciado nos dá os planos H e G cujas equações são
H:;2x+3y-4z+1=0,
G:;10x+15y-20z+5=0
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: precisamos comparar os vetores normais para ver se os planos são paralelos, depois checar se são coincidentes e, por fim, usar a fórmula de distância entre planos paralelos, caso sejam distintos.

Passo 2

Os vetores normais de H e G são
nH = (2,3,-4),
nG = (10,15,-20)
Como nG = 5,nH, os vetores normais são proporcionais, logo os planos H e G são paralelos.

Passo 3

Para verificar se são coincidentes, basta ver se a equação de G é um múltiplo escalar exato da de H. De fato,
5,(2x+3y-4z+1)=10x+15y-20z+5,
que coincide exatamente com a equação de G. Portanto, G é a mesma equação que H multiplicada por 5, ou seja, são planos paralelos coincidentes.

Passo 4

Se dois planos são coincidentes, a distância entre eles é zero. Alternativamente, usando a fórmula de distância entre planos paralelos
dist(H,G) =l|D2 - D1'r||n|,
onde D1' e D2 são os termos constantes das equações ajustadas ao mesmo vetor normal. Aqui D1'=5 e D2=5, logo
dist(H,G)=0

Resposta

(a) Sim, pois os vetores normais são proporcionais ( nG=5,nH).
(b) São coincidentes, porque a equação de G é exatamente 5 vezes a de H.
(c) A distância entre eles é 0.

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