Considere o plano de equação e o plano de equação .
(a) Os planos e são paralelos? Justifique.
(b) Em caso afirmativo, são paralelos coincidentes ou são paralelos distintos? Justifique.
(c) Calcule a distância entre e .
Passo 1
O enunciado nos dá os planos e cujas equações são
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: precisamos comparar os vetores normais para ver se os planos são paralelos, depois checar se são coincidentes e, por fim, usar a fórmula de distância entre planos paralelos, caso sejam distintos.
Passo 2
Os vetores normais de e são
Como , os vetores normais são proporcionais, logo os planos e são paralelos.
Passo 3
Para verificar se são coincidentes, basta ver se a equação de é um múltiplo escalar exato da de . De fato,
que coincide exatamente com a equação de . Portanto, é a mesma equação que multiplicada por 5, ou seja, são planos paralelos coincidentes.
Passo 4
Se dois planos são coincidentes, a distância entre eles é zero. Alternativamente, usando a fórmula de distância entre planos paralelos
onde D1' e D2 são os termos constantes das equações ajustadas ao mesmo vetor normal. Aqui D1'=5 e D2=5, logo
dist(H,G)=0
Resposta
(a) Sim, pois os vetores normais são proporcionais (nG=5,nH).
(b) São coincidentes, porque a equação de G é exatamente 5 vezes a de H.
(c) A distância entre eles é 0.