Considere o plano H de equação x+2 y-2 z-3=0 e o plano G de equação 2 x+4 y-4 z-7=0.
(a) Os planos H e G são paralelos? Justifique.
(b) Em caso afirmativo, são paralelos coincidentes ou são paralelos distintos? Justifique.
(c) Calcule a distância entre H e G.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
H: x + 2y - 2z - 3 = 0
G: 2x + 4y - 4z - 7 = 0
e pede (a) verificar se são paralelos, (b) em caso afirmativo ver se coincidem ou não, e (c) calcular a distância entre eles. O conteúdo envolve vetores normais de planos, condição de paralelismo e fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais.
Para H temos
nH = (1,2,-2),
para G
nG = (2,4,-4) = 2,(1,2,-2) = 2,nH
Como nG é múltiplo escalar de nH, concluímos que H e G são paralelos.

Passo 3

Para testar coincidência, basta ver se ao multiplicar a equação de H pelo mesmo escalar que relaciona as normais (aqui 2) obtemos a de G. Multiplicando H por 2
2x + 4y - 4z - 6 = 0,
que difere de Gcolon 2x+4y-4z-7=0, pois -6neq -7. Logo, são paralelos distintos.

Passo 4

Para a distância entre planos paralelos na forma
ax+by+cz+di=0,
usa-se
dist(H,G) = l|dG - dHr|lVert nrVert,
onde escolhemos a mesma normal n=(1,2,-2) e escrevemos G dividindo por 2:
G'colon x+2y-2z-tfrac72=0,
então dH=-3, dG'=-tfrac72 e
lVert nrVert = raiz1^2+2^2+(-2)^2 = 3
Assim
dist(H,G) = l|-tfrac72 - (-3)r|3 = l|-tfrac72 +3r|3 = tfrac123 = tfrac16

Resposta

(a) Sim, pois nG=2,nH.
(b) São paralelos distintos, pois 2cdot(-3)neq -7.
(c) tfrac16.

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