Considere o plano de equação e o plano de equação .
(a) Os planos e são paralelos? Justifique.
(b) Em caso afirmativo, são paralelos coincidentes ou são paralelos distintos? Justifique.
(c) Calcule a distância entre e .
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e pede (a) verificar se são paralelos, (b) em caso afirmativo ver se coincidem ou não, e (c) calcular a distância entre eles. O conteúdo envolve vetores normais de planos, condição de paralelismo e fórmula da distância entre planos paralelos.
Passo 2
Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais.
Para temos
para
Como é múltiplo escalar de , concluímos que e são paralelos.
Passo 3
Para testar coincidência, basta ver se ao multiplicar a equação de pelo mesmo escalar que relaciona as normais (aqui ) obtemos a de . Multiplicando por dá
que difere de , pois . Logo, são paralelos distintos.
Passo 4
Para a distância entre planos paralelos na forma
usa-se
onde escolhemos a mesma normal n=(1,2,-2) e escrevemos G dividindo por 2: