Calcule a distância entre:
o ponto P=(0,0,0) e o plano alpha: x+3 y-z-10=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P=(0,0,0) e o plano
alpha: x + 3y - z - 10 = 0
O conteúdo aqui é “distância de ponto a plano” em R^3. Vamos usar a fórmula que relaciona as coordenadas do ponto com os coeficientes do plano.

Passo 2

A fórmula geral para a distância de P=(x0,y0,z0) ao plano ax+by+cz+d=0 é
dist = llvert a,x0 + b,y0 + c,z0 + drrvertraiza^2 + b^2 + c^2

Passo 3

No nosso caso, identificamos
a = 1, b = 3, c = -1, d = -10,
e (x0,y0,z0) = (0,0,0). Logo, o numerador da fórmula fica
a,x0 + b,y0 + c,z0 + d = 1cdot 0 + 3cdot 0 + (-1)cdot 0 -10 = -10

Passo 4

Tomando o valor absoluto no numerador e calculando a norma do vetor normal (a,b,c), temos
lvert -10rvert = 10, raiz1^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz11

Passo 5

Substituindo na fórmula, a distância é
10raiz11
que também pode ser racionalizada como
10raiz1111

Resposta

A distância entre P e alpha é 10raiz11 (ou 10raiz1111).

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