Calcule a distância entre:
a reta r: x-22=y-31 ; z=3 e o plano lx=5-t+s y=2+3 t-s, z=1-2 t, t, s in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta
r:;x-22=y-31, z=3
e o plano dado parametricamente por
x=5 - t + s, y=2 + 3t - s, z=1 - 2t, t,sinR
O conteúdo é geometria analítica no espaço: precisamos identificar um ponto e o vetor direção da reta, o vetor normal ao plano, e verificar se há interseção (distância zero) ou então aplicar a fórmula da distância ponto-plano.

Passo 2

Escolhemos um ponto A na reta r e seu vetor direção u. Tomando o parâmetro lambda tal que
x=2+2lambda, y=3+lambda, z=3,
vemos que para lambda=0 temos
A=(2,3,3),
e o vetor direção é
u=(2,1,0)

Passo 3

Extraímos dois vetores de direção do plano e computamos seu normal. Do paramétrico, com parâmetros t e s, temos
vt = partialpartial t(x,y,z) = (-1,,3,,-2),
vs = partialpartial s(x,y,z) = (1,,-1,,0)
O vetor normal n é
n = vt times vs = deti&j&k -1&3&-2 1&-1&0 =(-2,,-2,,-2),
que podemos simplificar para
n=(-1,-1,-1)

Passo 4

Verificamos se a reta é paralela ao plano calculando ucdotn:
ucdotn =(2,1,0)cdot(-1,-1,-1) =-2 -1 + 0 =-3neq0
Como o produto escalar não é zero, a reta não é paralela ao plano e, portanto, deve haver interseção.

Passo 5

Resolvemos o sistema para encontrar o ponto de interseção. Igualamos as coordenadas da reta (com parâmetro lambda) às do plano (com parâmetros t,s):
2+2lambda = 5 - t + s,
3+lambda = 2 + 3t - s,
3 = 1 - 2t
Da terceira equação vem t=-1. Substituindo nas duas primeiras e resolvendo, obtemos lambda=0, s=-4. Isso gera o ponto
(2,3,3)
comum a reta e ao plano.

Resposta

A reta e o plano se intersectam, logo a distância entre eles é 0.

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