Calcule a distância entre o ponto P=(3,1,-4) e o plano pi: 4x-2y-4z+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre o ponto P = (3, 1, -4) e o plano pi: 4x - 2y - 4z + 1 = 0 . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. Essa fórmula nos ajuda a encontrar quão “longe” está um ponto de um plano no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular essa distância. Se temos um ponto P = (x0, y0, z0) e um plano definido por Ax + By + Cz + D = 0 , a distância d é dada por:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Essa fórmula basicamente projeta o ponto sobre o plano e calcula o comprimento dessa projeção.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos no nosso problema. O ponto é P = (3, 1, -4) , então x0 = 3 , y0 = 1 e z0 = -4 . O plano é 4x - 2y - 4z + 1 = 0 , então os coeficientes são A = 4 , B = -2 , C = -4 e D = 1 .

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |4 cdot 3 + (-2) cdot 1 + (-4) cdot (-4) + 1|raiz4^2 + (-2)^2 + (-4)^2

Passo 5

Vamos calcular o numerador primeiro:
4 cdot 3 = 12 -2 cdot 1 = -2 -4 cdot (-4) = 16
Somando tudo isso com o D :
12 - 2 + 16 + 1 = 27
Então, o valor absoluto é |27| = 27 .

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador:
raiz4^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6

Resposta

Finalmente, a distância entre o ponto P = (3, 1, -4) e o plano pi: 4x - 2y - 4z + 1 = 0 é:
d = 276 = 4,5

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