Considere o lugar geométrico dos pontos cuja distância até a origem é o dobro da distância até o ponto A=(a, 0) com a in R.
Qual a equação algébrica (na forma mais geral possível, ou seja, desenvolver as contas) deste lugar geométrico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto fixo A que está no eixo x, ou seja, nas coordenadas A = (a, 0) . Queremos encontrar todos os pontos no plano que estão duas vezes mais perto da origem O = (0, 0) do que desse ponto A . Esse conjunto de pontos forma um lugar geométrico. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos P = (x, y) e Q = (xq, yq) , a distância entre eles é dada pela fórmula:
d(P, Q) = raiz(x - xq)^2 + (y - yq)^2

Passo 3

No nosso caso, queremos que a distância de P até a origem O = (0, 0) seja o dobro da distância de P até A = (a, 0) . Então, podemos escrever isso assim:
d(P, O) = 2 cdot d(P, A)

Passo 4

Vamos substituir as distâncias pelas fórmulas correspondentes:
raiz(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2 cdot raiz(x - a)^2 + (y - 0)^2
Simplificando:
raizx^2 + y^2 = 2 cdot raiz(x - a)^2 + y^2

Passo 5

Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
(raizx^2 + y^2)^2 = (2 cdot raiz(x - a)^2 + y^2)^2
Isso resulta em:
x^2 + y^2 = 4 cdot [(x - a)^2 + y^2]

Passo 6

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
x^2 + y^2 = 4(x^2 - 2a x + a^2 + y^2)
Distribuindo o 4:
x^2 + y^2 = 4x^2 - 8a x + 4a^2 + 4y^2

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo para simplificar:
x^2 + y^2 - 4x^2 + 8a x - 4a^2 - 4y^2 = 0
Combinando termos semelhantes:
-3x^2 - 3y^2 + 8a x - 4a^2 = 0

Passo 8

Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por -1:
3x^2 + 3y^2 - 8a x + 4a^2 = 0

Passo 9

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 1 (mantendo os coeficientes):
3x^2 - 8a x + 3y^2 + 4a^2 = 0

Resposta

A equação algébrica do lugar geométrico é:
3x^2 - 8a x + 3y^2 + 4a^2 = 0

Exercícios relacionados