Considere o lugar geométrico dos pontos cuja distância até a origem é o dobro da distância até o ponto
com
.
Qual a equação algébrica (na forma mais geral possível, ou seja, desenvolver as contas) deste lugar geométrico?
Qual a equação algébrica (na forma mais geral possível, ou seja, desenvolver as contas) deste lugar geométrico?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto fixo A que está no eixo x, ou seja, nas coordenadas
. Queremos encontrar todos os pontos no plano que estão duas vezes mais perto da origem
do que desse ponto
. Esse conjunto de pontos forma um lugar geométrico. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos
e
, a distância entre eles é dada pela fórmula:
Passo 3
No nosso caso, queremos que a distância de
até a origem
seja o dobro da distância de
até
. Então, podemos escrever isso assim:
Passo 4
Vamos substituir as distâncias pelas fórmulas correspondentes:
Simplificando:
Passo 5
Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Distribuindo o 4:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo para simplificar:
Combinando termos semelhantes:
Passo 8
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por -1:
Passo 9
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 1 (mantendo os coeficientes):
Resposta
A equação algébrica do lugar geométrico é: