Considere o lugar geométrico dos pontos cuja distância até a origem é o dobro da distância até o ponto A=(a, 0) com a in R.
Qual o(s) valor(es) de a, para que o ponto P=(2,1) pertença a este lugar geométrico?

Passo 1

O enunciado define o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P à origem é o dobro da distância de P ao ponto A=(a,0). O conteúdo é geometria analítica de lugares geométricos, e vamos precisar montar a equação
raizx^2+y^2=2raiz(x-a)^2+y^2
e depois impor que P=(2,1) satisfaça essa equação para encontrar a.

Passo 2

Elevando ambos os lados de
raizx^2+y^2=2raiz(x-a)^2+y^2
ao quadrado, obtemos
x^2+y^2 = 4l((x-a)^2+y^2r)
Expandindo e reorganizando, chega-se a
3(x^2+y^2)-8ax+4a^2=0
Fazendo o completo do quadrado em x resulta na equação de uma circunferência:
(x-tfrac4a3)^2 + y^2 = 4a^29

Passo 3

Para que o ponto P=(2,1) pertença a essa circunferência, substituímos x=2 e y=1 na equação
(2-tfrac4a3)^2 + 1^2 = 4a^29

Passo 4

Expandindo
(2-tfrac4a3)^2 + 1 = 4a^29
temos
4 - 16a3 + 16a^29 + 1 = 4a^29
5 - 16a3 + 16a^29 - 4a^29 = 0
5 - 16a3 + 12a^29 = 0
15 -16a +4a^2 = 0
Essa quadrática tem discriminante De<a =(-16)^2 -4cdot4cdot15 =16, logo
a = 16pm48 ;;Longrightarrow;; a=32ou a=52

Resposta

a = tfrac32 ou a = tfrac52.

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