Calcule:
(a) A distância entre o ponto Q=(-1,0,1) e o plano pi: x-y+2=0 :
(b) A distância entre a reta r:(x, y, z)=(1+t,-t, 1), t in R e o plano pi: x=-z.

Passo 1

O enunciado pede duas distâncias em geometria analítica no espaço:
  • (a) a distância de um ponto Q=(-1,0,1) a um plano picolon x-y+2=0.
  • (b) a distância de uma reta rcolon (x,y,z)=(1+t,-t,1) ao plano pi'colon x=-z.
    Para resolver usaremos (i) a fórmula da distância de um ponto a um plano e (ii) o fato de que se uma reta não é paralela a um plano, ela o cruza e a distância é zero; caso contrário, a distância é a de qualquer ponto da reta ao plano.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da distância de um ponto P=(x0,y0,z0) ao plano picolon ax+by+cz+d=0:
d(P,pi) =l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2+b^2+c^2

Passo 3

No caso (a), o plano é picolon x - y + 2 = 0, logo a=1, b=-1, c=0, d=2, e Q=(-1,0,1). Substituindo:
d(Q,pi) =l|1cdot(-1)+(-1)cdot0+0cdot1+2r|raiz1^2+(-1)^2+0^2 =l|-1+2r|raiz2 =1raiz2

Passo 4

Para (b), uma reta r e um plano pi' têm distância nula se a reta cruza o plano; isso ocorre sempre que o vetor diretor da reta não for ortogonal ao vetor normal do plano. Se fossem paralelos ( v cdot n = 0), usaríamos a fórmula do passo 2 para qualquer ponto da reta.

Passo 5

A reta r tem vetor diretor v=(1,-1,0). O plano pi'colon x=-z pode ser escrito x+z=0, com vetor normal n=(1,0,1). Calculamos
vcdotn =1cdot1 + (-1)cdot0 + 0cdot1 =1neq0
Como vcdotnneq0, a reta cruza o plano e a distância é
dl(r,pi'r)=0

Resposta

(a) 1raiz2
(b) 0

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