Calcule:
(a) A distância entre o ponto e o plano :
(b) A distância entre a reta e o plano .
Passo 1
O enunciado pede duas distâncias em geometria analítica no espaço:
(a) a distância de um ponto a um plano .
(b) a distância de uma reta ao plano .
Para resolver usaremos (i) a fórmula da distância de um ponto a um plano e (ii) o fato de que se uma reta não é paralela a um plano, ela o cruza e a distância é zero; caso contrário, a distância é a de qualquer ponto da reta ao plano.
Passo 2
Aplicamos a fórmula da distância de um ponto ao plano :
Passo 3
No caso (a), o plano é picolon x - y + 2 = 0, logo a=1, b=-1, c=0, d=2, e Q=(-1,0,1). Substituindo:
Para (b), uma reta r e um plano pi' têm distância nula se a reta cruza o plano; isso ocorre sempre que o vetor diretor da reta não for ortogonal ao vetor normal do plano. Se fossem paralelos (v cdot n = 0), usaríamos a fórmula do passo 2 para qualquer ponto da reta.
Passo 5
A reta r tem vetor diretor v=(1,-1,0). O plano pi'colon x=-z pode ser escrito x+z=0, com vetor normal n=(1,0,1). Calculamos
vcdotn =1cdot1 + (-1)cdot0 + 0cdot1 =1neq0
Como vcdotnneq0, a reta cruza o plano e a distância é