Determine a posição relativa entre as retas r e s. Caso as retas sejam reversas ou paralelas distintas, determine também a distância entre estas retas:
(a) r:(x, y, z)=(2-t, t, 2+t), t in R, e s:(x, y, z)=(2+l,-l,-l+2), l in R;
(b) r:(x, y, z)=(2+t, t, t), t in R, e s:(x, y, z)=(2+l,-l, 2), l in R.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre duas retas em R^3. Para isso, em cada caso vamos extrair um ponto P1 e um vetor diretor v1 de r, e um ponto P2 e um vetor diretor v2 de s. Depois checamos se v1 é proporcional a v2 (linhas paralelas ou coincidentes) e se existe solução para r(t)=s(ell) (interseção). Se forem reversas, usamos a fórmula da distância entre retas
d ;=;l|(P2-P1)cdot(v1times v2)r||,v1times v2|

Passo 2

Caso (a):
De rcolon (x,y,z)=(2-t,;t,;2+t) tiramos
P1=(2,0,2), v1=(-1,,1,,1)
De scolon (x,y,z)=(2+ell,,-ell,,-ell+2) tiramos
P2=(2,0,2), v2=(1,,-1,,-1)
Observamos que v2=-,v1, então são paralelas. Como P2=P1 já está em r, na verdade as retas coincidem.

Passo 3

Se as retas coincidem, a distância entre elas é
d=0

Passo 4

Caso (b):
De rcolon (x,y,z)=(2+t,;t,;t) tiramos
P1=(2,0,0), v1=(1,,1,,1)
De scolon (x,y,z)=(2+ell,,-ell,;2) tiramos
P2=(2,0,2), v2=(1,,-1,,0)
Os vetores v1 e v2 não são proporcionais, então não são paralelas. Tentando igualar
2+t=2+ell, t=-ell, t=2
não há solução comum, logo não se cruzam e são reversas (skew).

Passo 5

Para a distância computamos primeiro o produto vetorial e o vetor entre pontos:
v1times v2 = i&j&k 1&1&1 1&-1&0 =(1,,1,,-2), P2-P1=(0,0,2)
Então
d =l|(0,0,2)cdot(1,1,-2)r|raiz1^2+1^2+(-2)^2 =4raiz6 =2raiz63

Resposta

(a) As retas são coincidentes, logo d=0.
(b) As retas são reversas (skew) e a distância entre elas é
d=2raiz63

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