Determine a posição relativa entre as retas e . Caso as retas sejam reversas ou paralelas distintas, determine também a distância entre estas retas:
(a) , e ;
(b) , e .
Passo 1
O enunciado pede a posição relativa entre duas retas em . Para isso, em cada caso vamos extrair um ponto e um vetor diretor de , e um ponto e um vetor diretor de . Depois checamos se é proporcional a (linhas paralelas ou coincidentes) e se existe solução para (interseção). Se forem reversas, usamos a fórmula da distância entre retas
Passo 2
Caso (a):
De rcolon (x,y,z)=(2-t,;t,;2+t) tiramos
P1=(2,0,2), v1=(-1,,1,,1)
De scolon (x,y,z)=(2+ell,,-ell,,-ell+2) tiramos
P2=(2,0,2), v2=(1,,-1,,-1)
Observamos que v2=-,v1, então são paralelas. Como P2=P1 já está em r, na verdade as retas coincidem.
Passo 3
Se as retas coincidem, a distância entre elas é
d=0
Passo 4
Caso (b):
De rcolon (x,y,z)=(2+t,;t,;t) tiramos
P1=(2,0,0), v1=(1,,1,,1)
De scolon (x,y,z)=(2+ell,,-ell,;2) tiramos
P2=(2,0,2), v2=(1,,-1,,0)
Os vetores v1 e v2 não são proporcionais, então não são paralelas. Tentando igualar
2+t=2+ell, t=-ell, t=2
não há solução comum, logo não se cruzam e são reversas (skew).
Passo 5
Para a distância computamos primeiro o produto vetorial e o vetor entre pontos: