Calcule a distância do ponto P(3,7,5) ao:
(a) Plano x y
(c) Plano x z
(e) Eixo y
(b) Plano y z
(d) Eixo x
(f) Eixo z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a distância do ponto P(3,7,5) para vários planos e eixos no espaço. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como a distância de um ponto a um plano e a distância de um ponto a um eixo. Vamos precisar usar fórmulas específicas para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância do ponto P(3,7,5) para o plano xy . O plano xy é aquele onde z = 0 .
A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0, z0) até um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
Distância = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 â
Para o plano xy , temos A = 0 , B = 0 e C = 1 , então a distância fica:
Distância = |0 cdot 3 + 0 cdot 7 + 1 cdot 5 + 0|raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 51 = 5 â

Passo 3

Agora, vamos para o plano yz , que é aquele onde x = 0 .
Usando a mesma fórmula, mas agora A = 1 , B = 0 , e C = 0 :
Distância = |1 cdot 3 + 0 cdot 7 + 0 cdot 5 + 0|raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 31 = 3 â

Passo 4

Seguimos para o plano xz , onde y = 0 .
Aqui, A = 0 , B = 1 , e C = 0 :
Distância = |0 cdot 3 + 1 cdot 7 + 0 cdot 5 + 0|raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 71 = 7 â

Passo 5

Agora vamos calcular a distância do ponto P(3,7,5) para o eixo y . O eixo y é definido por x = 0 e z = 0 .
A distância de um ponto a um eixo é dada pela distância do ponto ao eixo no plano que não contém o eixo. Para o eixo y , isso significa considerar as coordenadas x e z :
Distância = raizx^2 + z^2 = raiz3^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34 â

Passo 6

Vamos calcular a distância para o eixo x , que é definido por y = 0 e z = 0 .
Usamos a fórmula semelhante, considerando y e z :
Distância = raizy^2 + z^2 = raiz7^2 + 5^2 = raiz49 + 25 = raiz74 â

Passo 7

Por fim, calculamos a distância para o eixo z , que é definido por x = 0 e y = 0 .
Aplicando a fórmula:
Distância = raizx^2 + y^2 = raiz3^2 + 7^2 = raiz9 + 49 = raiz58 â

Resposta

A distância do ponto P(3,7,5) é:
(a) ao plano xy: , 5 (b) ao plano yz: , 3 (c) ao plano xz: , 7 (d) ao eixo x: , raiz74 (e) ao eixo y: , raiz34 (f) ao eixo z: , raiz58

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