Seja A=[lll3 & 0 & 1 0 & 3 & 2 0 & 0 & 2]. Responda os itens a seguir.
(b) (1 ponto) A é diagonalizável? Se sim, encontre uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que P^-1 A P=D.

Passo 1

Temos a matriz
A = 3 & 0 & 1 0 & 3 & 2 0 & 0 & 2
A parte (b) pede para verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que
P^-1 A P = D
Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal; em seguida vamos achar os autovetores e montar P e D.

Passo 2

Calcular os autovalores de A. Como A é triangular, eles são
lambda1 = 3(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = 2(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 3

Encontrar os autovetores:
Para , resolvemos
que impõe e deixa livres. Dois vetores independentes são, por exemplo,
Para , resolvemos
que dá , . Escolhendo , um autovetor é
Como as dimensões dos espaços próprios são (para ) e (para ), iguais às multiplicidades algébricas, concluímos que é diagonalizável.

Passo 4

Montamos a matriz de autovetores e a diagonal:
P = l[v1 v2 v3r] = 1 & 0 & -1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 , D = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2
Verifica-se que det(P)=1neq0 e que realmente P^-1AP=D.

Resposta

A é diagonalizável. Uma escolha conveniente é
P = 1 & 0 & -1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 , D = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2

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