Sejam A(0,1,-1), B(12, 0,-12), C(1, 12, 0) e D(1,2,1) pontos do R^3. Obtenha o ponto P in R^3 que tem abscissa 1 e satisfaz d(P, A)=d(P, B) e d(P, C)=d(P, D).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem quatro pontos A(0,1,-1) , B(12, 0,-12) , C(1, 12, 0) e D(1,2,1) no R^3. A missão é encontrar o ponto P que está no espaço tridimensional, com a abscissa (ou seja, a coordenada x ) igual a 1, e que satisfaz duas condições:
  1. A distância de P até A é igual à distância de P até B .
  2. A distância de P até C é igual à distância de P até D .
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos P(x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) , a distância d entre eles é dada por:
d(P, Q) = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Como sabemos que P tem abscissa igual a 1, podemos escrever P como P(1, y, z) , onde y e z são as coordenadas que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos aplicar a condição d(P, A) = d(P, B) . Substituindo na fórmula da distância:
raiz(1 - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-1))^2 = raiz(1 - 12)^2 + (y - 0)^2 + (z - (-12))^2
Simplificando os termos dentro das raízes:
raiz1 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = raiz(12)^2 + y^2 + (z + 12)^2

Passo 4

Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
1 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = (12)^2 + y^2 + (z + 12)^2
Agora, vamos expandir os quadrados:
1 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 2z + 1 = 14 + y^2 + z^2 + z + 14
Simplificando ambos os lados:
3 + y^2 - 2y + z^2 + 2z = 12 + y^2 + z^2 + z
Subtraindo y^2 + z^2 de ambos os lados:
3 - 2y + 2z = 12 + z
Reorganizando os termos:
-2y + z = 12 - 3
-2y + z = -52
Essa é a nossa primeira equação:
-2y + z = -52 (1)

Passo 5

Agora, vamos aplicar a segunda condição d(P, C) = d(P, D) . Usando a fórmula da distância:
raiz(1 - 1)^2 + (y - 12)^2 + (z - 0)^2 = raiz(1 - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2
Simplificando:
raiz0 + (y - 12)^2 + z^2 = raiz0 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(y - 12)^2 + z^2 = (y - 2)^2 + (z - 1)^2
Expandindo os termos:
y^2 - y + 14 + z^2 = y^2 - 4y + 4 + z^2 - 2z + 1
Simplificando:
-y + 14 = -4y + 5 - 2z
Reorganizando os termos:
3y - 2z = 194
Essa é a nossa segunda equação:
3y - 2z = 194 (2)

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-2y + z = -52 (1) 3y - 2z = 194 (2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, isolar z na equação (1):
z = 2y - 52
Substituindo esse valor de z na equação (2):
3y - 2(2y - 52) = 194

Passo 8

Vamos resolver a equação:
3y - 4y + 5 = 194
Simplificando:
-y + 5 = 194
Subtraindo 5 de ambos os lados:
-y = 194 - 5 = 194 - 204 = -14
Multiplicando ambos os lados por -1:
y = 14

Passo 9

Agora que temos y = 14 , vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para z :
z = 2(14) - 52 = 12 - 52 = -2

Resposta

O ponto P que satisfaz as condições do exercício é P(1, 14, -2) .

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