Sejam e pontos do . Obtenha o ponto que tem abscissa 1 e satisfaz e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem quatro pontos , , e no . A missão é encontrar o ponto que está no espaço tridimensional, com a abscissa (ou seja, a coordenada ) igual a 1, e que satisfaz duas condições:
A distância de até é igual à distância de até .
A distância de até é igual à distância de até .
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos e , a distância entre eles é dada por:
Como sabemos que tem abscissa igual a 1, podemos escrever como , onde e são as coordenadas que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos aplicar a condição . Substituindo na fórmula da distância:
Simplificando os termos dentro das raízes:
Passo 4
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Agora, vamos expandir os quadrados:
Simplificando ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Reorganizando os termos:
Essa é a nossa primeira equação:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a segunda condição . Usando a fórmula da distância:
Simplificando:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Reorganizando os termos:
Essa é a nossa segunda equação:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, isolar z na equação (1):
z = 2y - 52
Substituindo esse valor de z na equação (2):
3y - 2(2y - 52) = 194
Passo 8
Vamos resolver a equação:
3y - 4y + 5 = 194
Simplificando:
-y + 5 = 194
Subtraindo 5 de ambos os lados:
-y = 194 - 5 = 194 - 204 = -14
Multiplicando ambos os lados por -1:
y = 14
Passo 9
Agora que temos y = 14 , vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para z :
z = 2(14) - 52 = 12 - 52 = -2
Resposta
O ponto P que satisfaz as condições do exercício é P(1, 14, -2) .