Escreva as equações das circunferências na forma (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2 para obter o centro C(x0, y0) e o raio r de cada uma delas.
(a) x^2+y^2-6 x+4 y+10=0
(c) x^2+y^2-43 x+y=11936
(b) x^2+y^2+32 x+14=0
(d) 2 x^2+2 y^2-x+y-214=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências! A gente precisa colocar cada equação na forma padrão da circunferência, que é (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2. Assim, vamos encontrar o centro C(x0, y0) e o raio r de cada uma das equações dadas. Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado.

Passo 2

Parte (a) x^2+y^2-6x+4y+10=0

Primeiro, vamos organizar os termos:
x^2 - 6x + y^2 + 4y = -10
Agora, completamos o quadrado para os termos de x e de y.
Para x:
  • Pegamos o coeficiente de x, que é -6, dividimos por 2, obtendo -3, e depois elevamos ao quadrado, ficando 9.
Para y:
  • O coeficiente de y é 4, dividimos por 2, dando 2, e elevamos ao quadrado, ficando 4.
Adicionamos esses valores aos dois lados da equação:
x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = -10 + 9 + 4
Simplificando:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 3

Passo 3

Parte (b) x^2+y^2+32x+14=0

Primeiro, vamos reorganizar a equação:
x^2 + 32x + y^2 = -14
Agora, completamos o quadrado para os termos de x e de y.
Para x:
  • Coeficiente de x é 32, dividimos por 2, fica 34, e elevamos ao quadrado, dando 916.
Para y:
  • Não há termo linear de y, então o termo quadrático já está completo.
Adicionamos 916 aos dois lados:
x^2 + 32x + 916 + y^2 = -14 + 916
Simplificando:
(x + 34)^2 + y^2 = 516

Passo 4

Parte (c) x^2+y^2-43x+y=11936

Vamos organizar a equação:
x^2 - 43x + y^2 + y = 11936
Agora, completamos o quadrado para x e y.
Para x:
  • Coeficiente de x é -43, dividimos por 2, fica -23, e elevamos ao quadrado, dando 49.
Para y:
  • Coeficiente de y é 1, dividimos por 2, fica 12, e elevamos ao quadrado, dando 14.
Adicionamos esses valores aos dois lados:
x^2 - 43x + 49 + y^2 + y + 14 = 11936 + 49 + 14
Simplificando:
(x - 23)^2 + (y + 12)^2 = 3636 + 1636 + 936 = 2536

Passo 5

Parte (d) 2x^2+2y^2-x+y-214=0

Primeiro, vamos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
x^2 + y^2 - 12x + 12y = 218
Agora, completamos o quadrado para x e y.
Para x:
  • Coeficiente de x é -12, dividimos por 2, fica -14, e elevamos ao quadrado, dando 116.
Para y:
  • Coeficiente de y é 12, dividimos por 2, fica 14, e elevamos ao quadrado, dando 116.
Adicionamos esses valores aos dois lados:
x^2 - 12x + 116 + y^2 + 12y + 116 = 218 + 116 + 116
Simplificando:
(x - 14)^2 + (y + 14)^2 = 218 + 216 = 218 + 18 = 228 = 114

Resposta

As equações das circunferências na forma padrão e seus respectivos centros e raios são:
  • (a) Centro C(3, -2), raio r = raiz3.
  • (b) Centro C(-34, 0), raio r = raiz54.
  • (c) Centro C(23, -12), raio r = 56.
  • (d) Centro C(14, -14), raio r = raiz112.

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