Escreva as equações das circunferências na forma
para obter o centro
e o raio
de cada uma delas.
(a)
(c)
(b)
(d)
(a)
(c)
(b)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências! A gente precisa colocar cada equação na forma padrão da circunferência, que é
. Assim, vamos encontrar o centro
e o raio
de cada uma das equações dadas. Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, vamos organizar os termos:
Agora, completamos o quadrado para os termos de
e de
.
Para
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2, obtendo , e depois elevamos ao quadrado, ficando .
Para
:
- O coeficiente de
é , dividimos por 2, dando , e elevamos ao quadrado, ficando .
Adicionamos esses valores aos dois lados da equação:
Simplificando:
Passo 3
Parte (b)
Primeiro, vamos reorganizar a equação:
Agora, completamos o quadrado para os termos de
e de
.
Para
:
- Coeficiente de
é , dividimos por 2, fica , e elevamos ao quadrado, dando .
Para
:
- Não há termo linear de
, então o termo quadrático já está completo.
Adicionamos
aos dois lados:
Simplificando:
Passo 4
Parte (c)
Vamos organizar a equação:
Agora, completamos o quadrado para
e
.
Para
:
- Coeficiente de
é , dividimos por 2, fica , e elevamos ao quadrado, dando .
Para
:
- Coeficiente de
é , dividimos por 2, fica , e elevamos ao quadrado, dando .
Adicionamos esses valores aos dois lados:
Simplificando:
Passo 5
Parte (d)
Primeiro, vamos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Agora, completamos o quadrado para
e
.
Para
:
- Coeficiente de
é , dividimos por 2, fica , e elevamos ao quadrado, dando .
Para
:
- Coeficiente de
é , dividimos por 2, fica , e elevamos ao quadrado, dando .
Adicionamos esses valores aos dois lados:
Simplificando:
Resposta
As equações das circunferências na forma padrão e seus respectivos centros e raios são:
- (a) Centro
, raio . - (b) Centro
, raio . - (c) Centro
, raio . - (d) Centro
, raio .