Sejam v1=(1,2,-2), v2=(2,-1,1), v3=(3,6,-6), v4=(3,1,-1) e w=(-3,-11,11). Responda os itens a seguir.
(d) (0,5 ponto) v1, v2, v3 e v4 geram R^3 ?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3:
v1=(1,2,-2), v2=(2,-1,1), v3=(3,6,-6), v4=(3,1,-1),
e pergunta se eles geram R^3. O conteúdo aqui é verificar a dimensão do espaço gerado (posto) desses vetores e comparar com dim(R^3)=3.

Passo 2

Verificamos se há vetores redundantes. Observamos que
v3=(3,6,-6)=3,(1,2,-2)=3,v1,
ou seja, v3 é múltiplo de v1 e não aumenta o posto.

Passo 3

Agora checamos relação entre
Das componentes obtemos o sistema
Da segunda e terceira equações vê-se que são múltiplas entre si, e a solução geral é
isto é,
Logo .

Passo 4

Concluímos que
spanv1,v2,v3,v4 =spanv1,v2,
que tem dimensão 2, pois v1 e v2 são independentes. Como dim(R^3)=3, esse conjunto não gera R^3.

Resposta

Não, v1,v2,v3,v4 não geram R^3.

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