Calcule a distância do ponto (1,1,2) ao plano 3 x+y-5 z=2.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(1,1,2) ao plano dado por 3x+y-5z=2. O conteúdo usado aqui é a geometria analítica em R^3 e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Escrevemos o plano na forma
Ax+By+Cz+D=0
a partir de 3x+y-5z=2, obtendo
3x+y-5z-2=0
Logo, A=3, B=1, C=-5 e D=-2.

Passo 3

A fórmula da distância de P=(x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d=l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2+B^2+C^2

Passo 4

Calculamos o numerador e o denominador:
l|3cdot1 + 1cdot1 + (-5)cdot2 + (-2)r| = |3 + 1 -10 -2| = |-8| = 8,
raiz3^2 + 1^2 + (-5)^2 = raiz9+1+25 = raiz35

Passo 5

Substituindo na fórmula, obtemos
d = 8raiz35

Resposta

8raiz35

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