Encontre a equação do plano que passa nos pontos (1, a, a),(a, 1, a) e (a, a, 1), em que a neq 1.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano em R^3 que passa pelos pontos
P1=(1,a,a), P2=(a,1,a), P3=(a,a,1),
com aneq1.
Conteúdo: geometria analítica de espaço – encontrar a equação de um plano conhecendo três pontos não colineares. Vamos precisar de dois vetores diretores do plano, do produto vetorial para achar a normal e, em seguida, da forma cartesiana do plano.

Passo 2

Formamos dois vetores que pertencem ao plano, subtraindo P1 dos outros dois pontos:
v = P2 - P1 = (a-1,;1-a,;0), w = P3 - P1 = (a-1,;0,;1-a)
Como aneq1, v e w são não nulos e não colineares, garantindo um plano bem definido.

Passo 3

Calculamos a normal n ao plano pelo produto vetorial n = vtimesw. Para
v=(1,-1,0) e w=(1,0,-1) (fator (a-1) comum suprimido),
n = i&j&k 1&-1&0 1&0&-1 =(,(-1)(-1)-0cdot0,;0cdot1-1cdot(-1),;1cdot0-(-1)cdot1) n=(1,;1,;1)

Passo 4

A forma geral do plano com normal n=(1,1,1) e que passa por P1 é
ncdotl((x,y,z)-P1r)=0 Longrightarrow 1,(x-1)+1,(y-a)+1,(z-a)=0
Isso dá
x-1+y-a+z-a=0 Longrightarrow x+y+z=1+2a

Resposta

A equação do plano é
x+y+z=2a+1

Exercícios relacionados