Calcule a distância do ponto P=(1,0,1) à reta r : X=(0,0,0)+lambda(1, 12, 13)(lambda in R).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(1,0,1) à reta r que passa pela origem com vetor diretor l(1,tfrac12,tfrac13r).
Conteúdo: geometria analítica em R^3, usando a fórmula
d = |APtimesv||v|,
onde A é um ponto da reta (aqui a origem) e v é o vetor diretor.

Passo 2

Escolhemos A=(0,0,0). Então
AP = P - A = (1,0,1), v = l(1,tfrac12,tfrac13r)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
APtimesv = i&j&k 1&0&1 1&tfrac12&tfrac13 = l(-tfrac12,;2/3,;tfrac12r)
A norma desse vetor é
l|APtimesvr| =raizl(-tfrac12r)^2+l(tfrac23r)^2+l(tfrac12r)^2 =raiztfrac14+tfrac49+tfrac14 =raiztfrac1718

Passo 4

A norma de v é
|v| =raiz1^2+l(tfrac12r)^2+l(tfrac13r)^2 =raiz1+tfrac14+tfrac19 =raiztfrac4936 =tfrac76

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância,
d =raiz17/187/6 =67,raiz1718 =raiz347

Resposta

raiz347

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