Seja a superfície esférica S: x^2+y^2+z^2-2 x-4 y+2 z-3=0 e o plano pi: x+2 z=0
Verifique se o plano pi corta, tangencia ou não corta a esfera S. Se cortar, determine o centro da circunferência de interseção.

Passo 1

O enunciado apresenta a esfera S dada por
x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0
e o plano pi definido por
x+2z=0
O que precisamos fazer é (a) determinar o centro e o raio de S, (b) calcular a distância do centro de S ao plano pi e (c) comparar essa distância com o raio para decidir se pi corta, tangencia ou não corta S. Se cortar, projetar o centro de S sobre pi para achar o centro da circunferência de interseção.

Passo 2

Para achar o centro e o raio completamos quadrados em
x^2-2x, y^2-4y, z^2+2z
Escrevendo
x^2-2x+1 + y^2-4y+4 + z^2+2z+1 = 3 + (1+4+1) = 9
ficamos com
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 9
Logo o centro é
C = (1,2,-1)
e o raio é
r = 3

Passo 3

O plano pi tem vetor normal n=(1,0,2) e constante d=0. A distância do ponto C a pi é
dist = l|1 + 2cdot(-1)r|raiz1^2+2^2 = |1-2|raiz5 = 1raiz5

Passo 4

Comparemos dist=tfrac1raiz5 com o raio r=3. Como
1raiz5<3,
o plano corta a esfera (não é tangente, pois a distância é menor que o raio).

Passo 5

Para achar o centro C' da circunferência interseção, projetamos C em pi. Usando
C' = C - ncdot C + d|n|^2,n,
temos ncdot C=1+2(-1)=-1 e |n|^2=5, portanto
C' = (1,2,-1) - -15(1,0,2) = (1,2,-1) + l(tfrac15,0,tfrac25r) = l(tfrac65,,2,,-tfrac35r)

Resposta

O plano pi corta a esfera S e o centro da circunferência de interseção é
l(tfrac65,,2,,-tfrac35r)

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