Determine os pontos de intersecção entre a hipérbole de equação x^2-4 y^2=4 e a elipse de equação 4 x^2+9 y^2=36.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a hipérbole
x^2-4y^2=4
e a elipse
4x^2+9y^2=36
Este é um sistema de duas equações em x e y. Vamos usar substituição: isolar uma variável (ou seu quadrado) numa equação e inserir na outra.

Passo 2

Da hipérbole isolamos x^2.
x^2-4y^2=4 Longrightarrow x^2=4+4y^2

Passo 3

Substituímos x^2=4+4y^2 na equação da elipse:
4x^2+9y^2=36 Longrightarrow 4l(4+4y^2r)+9y^2=36
Agora simplificamos:
16+16y^2+9y^2=36 Longrightarrow 25y^2=20 Longrightarrow y^2=2025=45

Passo 4

Tirando raiz em y^2=tfrac45 obtemos
y=pm2raiz5

Passo 5

Voltamos a x^2=4+4y^2 para calcular x:
x^2 =4+4cdot45 =4+165 =365 Longrightarrow x=pm6raiz5
Racionalizando denominador, fica
x=pm6raiz55, y=pm2raiz55

Passo 6

Como os sinais de x e y são independentes, temos quatro pontos de interseção, combinando os sinais “ +” e “ -”.

Resposta

l(tfrac6raiz55,,tfrac2raiz55r), l(tfrac6raiz55,,-tfrac2raiz55r), l(-tfrac6raiz55,,tfrac2raiz55r), l(-tfrac6raiz55,,-tfrac2raiz55r)

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