Calcule a distância do ponto P à reta r em cada um dos casos a seguir.
a) P (5,7) e r: 4x-3y + 2=0
b) P (1,-2) e r: y= -3/4x +1
c) P (-1,4) e r: x+y=0
d) P (2,6) e r: 2x+1=0

Passo 1

Então, galera! A gente vai resolver um exercício que pede pra calcular a distância de um ponto até uma reta em vários casos. O conteúdo que vamos usar aqui é a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano. Para isso, vamos precisar identificar os coeficientes da reta (A, B e C) e as coordenadas do ponto (x₀, y₀). Com isso, a fórmula que vamos usar é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Vamos bater o martelo nisso ponto a ponto!

Passo 2

a) P (5,7) e r: 4x - 3y + 2 = 0
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da reta:
  • A = 4
  • B = -3
  • C = 2
E o ponto P tem:
  • x₀ = 5
  • y₀ = 7
Agora, aplicando na fórmula:
d = |4 times 5 + (-3) times 7 + 2|raiz4^2 + (-3)^2 = |20 - 21 + 2|raiz16 + 9 = |1|raiz25 = 15 = 0,2

Passo 3

b) P (1,-2) e r: y = -\frac{3}{4}x + 1
Primeiro, precisamos reescrever a equação da reta no formato geral Ax + By + C = 0:
y = -34x + 1 Rightarrow 34x + y - 1 = 0
Então, os coeficientes são:
  • A = 3/4
  • B = 1
  • C = -1
E o ponto P tem:
  • x₀ = 1
  • y₀ = -2
Aplicando na fórmula:
d = |34 times 1 + 1 times (-2) - 1|raiz(34)^2 + 1^2 = |34 - 2 - 1|raiz916 + 1 = |-114|raiz2516 = 11454 = 114 times 45 = 115 = 2,2

Passo 4

c) P (-1,4) e r: x + y = 0
Aqui, já temos a reta no formato geral:
  • A = 1
  • B = 1
  • C = 0
E o ponto P tem:
  • x₀ = -1
  • y₀ = 4
Aplicando na fórmula:
d = |1 times (-1) + 1 times 4 + 0|raiz1^2 + 1^2 = |-1 + 4|raiz2 = 3raiz2 = 3raiz22 approx 2,12

Passo 5

d) P (2,6) e r: 2x + 1 = 0
Primeiro, vamos escrever a reta no formato geral Ax + By + C = 0. Como não tem termo em y, fica:
2x + 0y + 1 = 0
Então:
  • A = 2
  • B = 0
  • C = 1
E o ponto P tem:
  • x₀ = 2
  • y₀ = 6
Aplicando na fórmula:
d = |2 times 2 + 0 times 6 + 1|raiz2^2 + 0^2 = |4 + 0 + 1|raiz4 = 52 = 2,5

Resposta

As distâncias do ponto P à reta r são:
a) 0,2 unidades
b) 2,2 unidades
c) aproximadamente 2,12 unidades
d) 2,5 unidades

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