Considere as retas
r1(t)=(-1+2 t, 1+t, 0) e r2(s)=(2+s, 4+2 s, 3)
Determine a posição relativa dessas retas (coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas).

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 nas formas paramétricas
r1(t)=(-1+2t,;1+t,;0), r2(s)=(2+s,;4+2s,;3)
O conteúdo é geometria analítica em espaço: para determinar a posição relativa (coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas) vamos (1) extrair vetores diretores e pontos, (2) testar paralelismo e se não paralelas, (3) testar interseção.

Passo 2

Extraímos um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para r1(t) temos o ponto P1=(-1,1,0) e o vetor diretor
d1=(2,1,0)
Para r2(s) temos o ponto P2=(2,4,3) e o vetor diretor
d2=(1,2,0)

Passo 3

Verificamos se d1 e d2 são paralelos, isto é, se existe k tal que d1=k,d2. Comparando componentes, precisaríamos
2 = kcdot1, 1 = kcdot2, 0 = kcdot0
Da primeira vem k=2, mas na segunda teríamos 1=2cdot2=4, impossível. Logo os vetores não são paralelos.

Passo 4

Como as direções não são paralelas, as retas ou se cruzam (concorrentes) ou são reversas (skew). Para checar interseção, igualamos
P1+t,d1 = P2+s,d2
Isto gera o sistema
-1+2t = 2 + s, 1 + t = 4 + 2s, 0 = 3
A terceira equação dá 0=3, inconsistência, então não há solução comum.

Passo 5

Concluímos que as retas não são paralelas nem se intersectam, ou seja, são retas reversas no espaço.

Resposta

As retas são reversas.

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