Sendo
(\vec{u}|=2,|\vec{v}|=3,|\vec{w}|=4), ang(u, v)=pi2 e ang(v, w)=pi6, sabendo que o conjunto {\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}) é LD, calcule:
(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores u e v com
|u|=2, |v|=3 e ang(u,v)=tfracpi2. Apesar de mencionarem w e dizerem que u,v,w é LD, para calcular
(u+v)cdot(u-v)
só precisamos das propriedades do produto escalar entre u e v.

Passo 2

Usamos a bilinearidade e a simetria do produto escalar para expandir:
(u+v)cdot(u-v) = ucdotu - ucdotv + vcdotu - vcdotv
Como ucdotv=vcdotu, os termos mistos se cancelam e sobra
(u+v)cdot(u-v) = |u|^2 - |v|^2

Passo 3

Para registrar que de fato u e v são ortogonais, calculamos
ucdotv = |u|;|v|;cosl(ang(u,v)r) = 2cdot3cdotcos!tfracpi2 =0

Passo 4

Substituindo as normas, temos
|u|^2 - |v|^2 = 2^2 - 3^2 =4 - 9 =-5

Resposta

-5

Exercícios relacionados