Calcule a distância do ponto P à reta r e determine a sua projeção ortogonal P^prime nos casos
P=(1,-1,4) r:x-24=y-3=x-1-2

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(1,-1,4) à reta r e a projeção ortogonal P' de P sobre r. O conteúdo usado será geometria vetorial em R^3: para a distância usaremos a fórmula envolvendo produto vetorial, e para a projeção usaremos a fórmula do pé da perpendicular a partir de projeção de vetores.

Passo 2

Precisamos extrair da forma simétrica da reta
x-24=y-0-3=z-12
um ponto A sobre a reta e um vetor diretor v.
O numerador de cada fração dá as coordenadas de A, e os denominadores dão v. Assim:
A=(2,0,1), v=(4,-3,2)

Passo 3

Para a distância de P à reta usamos
dist(P,r) =|APtimesv||v|,
onde AP=P-A=(1-2,,-1-0,,4-1)=(-1,-1,3).
Calculemos o produto vetorial:
APtimesv = i&j&k -1&-1&3 4&-3&2 =7,i+14,j+7,k,
cuja norma é
|APtimesv| =raiz7^2+14^2+7^2 =raiz49+196+49 =7raiz6
Também
|v| =raiz4^2+(-3)^2+2^2 =raiz16+9+4 =raiz29
Logo
dist(P,r) =7raiz6raiz29

Passo 4

Para a projeção ortogonal P' usamos a fórmula do pé da perpendicular:
P'=A+APcdotvvcdotv,v
Temos
APcdotv =(-1)cdot4+(-1)cdot(-3)+3cdot2 =-4+3+6 =5,
e
vcdotv =4^2+(-3)^2+2^2 =29
Portanto
P' =(2,0,1)+529(4,-3,2) =l(2+tfrac2029,;0-tfrac1529,;1+tfrac1029r) =l(tfrac7829,;-tfrac1529,;tfrac3929r)

Resposta

A distância é 7raiz6raiz29 e a projeção ortogonal é
P'=l(tfrac7829,,-tfrac1529,,tfrac3929r)

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