Calcule a distância do ponto P à reta r e determine a sua projeção ortogonal P^prime nos casos
P=(-2,0,1) r:lx=3 lambda+1 y=2 lambda-2 z=lambda

Passo 1

O enunciado pede a distância de P=(-2,0,1) à reta
r: x=3lambda+1, y=2lambda-2, z=lambda
e a projeção ortogonal P' de P em r. O conteúdo aqui é geometria vetorial em R^3, usando produto vetorial para a distância e projeção via produto escalar.

Passo 2

Escolhemos um ponto A na reta e o vetor diretor vec d. Tomando lambda=0 em r fica
A=(1,-2,0),
e o vetor diretor é
vec d=(3,2,1)

Passo 3

Definimos o vetor
AP=P-A=(-2-1,;0-(-2),;1-0)=(-3,2,1)
A fórmula da distância de um ponto à reta é
dist(P,r) =|APtimesvec d||vec d|
Calculando o produto vetorial:
APtimesvec d =deti&j&k-3&2&13&2&1 =(0,6,-12),
|APtimesvec d|=6raiz5 e |vec d|=raiz14. Logo,
dist(P,r) =6raiz5raiz14 =3raiz707

Passo 4

Para a projeção ortogonal usamos
P'=A+APcdotvec dvec dcdotvec d,vec d
Calculamos APcdotvec d=-3cdot3+2cdot2+1cdot1=-4 e vec dcdotvec d=14. Assim,
P' =(1,-2,0)+l(-tfrac27r)(3,2,1) =l(1-tfrac67,,-2-tfrac47,,-tfrac27r) =l(tfrac17,,-tfrac187,,-tfrac27r)

Resposta

A distância é 3raiz707
A projeção ortogonal é P'=l(tfrac17,-tfrac187,-tfrac27r).

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