Sejam P=(1,0,1) e Q=(0,1,1) em relação a um sistema cartesiano de coordenadas. Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 12.
A=(1,2,1) B=(1,2,3);

Passo 1

O enunciado dá dois pontos
P=(1,0,1) e Q=(0,1,1)
e pede um ponto C sobre a reta PQ tal que a área do triângulo ABC valha tfrac12, onde
A=(1,2,1) e B=(1,2,3).
O conteúdo é área de triângulo no espaço usando produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos a reta PQ. Chamando tinR,
C(t)=P + t,(Q-P) = (1,0,1) + t,(-1,1,0) = (,1-t,;t,;1,)

Passo 3

Para a área do triângulo usamos
Área=12l|ACtimesABr| Á
Primeiro calculemos
AC =C(t)-A =(,1-t-1,;t-2,;1-1,) =(-t,;t-2,;0),
AB =B-A =(1-1,;2-2,;3-1) =(0,;0,;2)

Passo 4

O produto vetorial é
ACtimesAB =l(-t,;t-2,;0r)times(0,0,2) =(,-2t+4,,-2t,,0,),
cujo módulo é
l|,ACtimesABr| =raiz(-2t+4)^2+(-2t)^2 =raiz8t^2-16t+16 =raiz8l((t-1)^2+1r)>=2raiz2
Logo
Área =12raiz8l((t-1)^2+1r) >=12cdot2raiz2 =raiz2> tfrac12 Á
Isso mostra que a área nunca pode ser tfrac12 para nenhum real t.

Resposta

Não existe ponto C em PQ tal que a área do triângulo ABC seja tfrac12.

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