Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
T: R^2 M2(R), T(x, y)=[cc2 y & 3 x -y & x+2 y]

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^2 to M2(R), T(x,y) = 2y & 3x -,y & x + 2y
e pede para verificar se T é linear.
Conteúdo: definição de transformação linear, que exige verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade, ou seja, se
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1,y1) + T(x2,y2)
O lado esquerdo é
T(x1+x2,;y1+y2) = 2(y1+y2) & 3(x1+x2) -(y1+y2) & (x1+x2)+2(y1+y2)
O lado direito é
T(x1,y1)+T(x2,y2) = 2y1 & 3x1 -,y1 & x1+2y1 + 2y2 & 3x2 -,y2 & x2+2y2 = 2(y1+y2) & 3(x1+x2) -(y1+y2) & (x1+x2)+2(y1+y2)
Como coincidem, a aditividade vale.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade, ou seja, se para todo escalar a
Tl(a,(x,y)r)=a,T(x,y)
O lado esquerdo é
T(ax,ay) = 2(ay) & 3(ax) -(ay) & (ax)+2(ay) = a,(2y) & a,(3x) a,(-y) & a,(x+2y) ,
que é exatamente
a, 2y & 3x -,y & x+2y =a,T(x,y)
Logo, a homogeneidade também vale.

Resposta

A transformação T é linear.

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