Calcule a distância do ponto P à reta r e determine a sua projeção ortogonal P^prime nos casos
P=(2,-1,3) r:x3=y+75=z-22

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(2,-1,3) à reta
r:x3=y+75=z-22
e também a projeção ortogonal P' de P em r.
O conteúdo principal é geometria vetorial em R^3: forma paramétrica de reta, fórmula da distância ponto–reta e fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Escrevemos r em forma paramétrica. Seja
t=x3=y+75=z-22
Então
r(t)=(x,y,z)=(3t,;5t-7,;2t+2)
Um ponto na reta é A=r(0)=(0,-7,2) e o vetor diretor é v=(3,5,2).

Passo 3

Para a distância usamos a fórmula
d=|APtimes v|| v|,
onde AP=P-A=(2,6,1). Calculamos
APtimes v = i & j & k 2 & 6 & 1 3 & 5 & 2 =(7,-1,-8),
|APtimes v| =raiz7^2+(-1)^2+(-8)^2 =raiz114, | v|=raiz3^2+5^2+2^2=raiz38
Logo
d=raiz114raiz38=raiz3

Passo 4

Para a projeção ortogonal usamos
P'=A+APcdot v vcdot v, v
Aqui
APcdot v =(2,6,1)cdot(3,5,2)=6+30+2=38, vcdot v=38,
logo o fator é 1 e
P'=A+ v=(0,-7,2)+(3,5,2)=(3,-2,4)

Resposta

Distância =raiz3.
Projeção ortogonal P'=(3,-2,4).

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