Sejam e em relação a um sistema cartesiano de coordenadas. Em cada um dos casos a seguir ache um ponto da reta tal que a área do triângulo seja . .
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos , , e e pede um ponto na reta tal que a área do triângulo seja . Vamos usar a fórmula da área em espaço tridimensional via produto vetorial.
Passo 2
Parametrizamos a reta por um parâmetro :
Passo 3
Escrevemos os vetores e AC:
AB=B-A=(0-3,;0-(-2),;1-1)=(-3,;2,;0),
AC=C(t)-A=(1-t-3,;t+2,;1-1)=(-2-t,;t+2,;0)
Passo 4
O produto vetorial fica perpendicular ao plano z=1, com componente
ABtimesAC=(0,0,;-3(t+2)-2(-2-t))=(0,0,,-t-2)
A área do triângulo é
Área=tfrac12l|ABtimesACr| =tfrac12,|, -t-2,| =tfrac12,|,t+2,| Á
Impondo tfrac12,|t+2|=tfrac12 leva a
|t+2|=1 Longrightarrow t+2=pm1 Longrightarrow t=-1 ou t=-3
Passo 5
Substituímos nos valores de t para achar C:
Se t=-1, então
C=(1-(-1),,-1,,1)=(2,,-1,,1)
Se t=-3, então
C=(1-(-3),,-3,,1)=(4,,-3,,1)
Resposta
Os pontos C da reta PQ que tornam a área de triang<= ABC igual a tfrac12 são