Sejam P=(1,0,1) e Q=(0,1,1) em relação a um sistema cartesiano de coordenadas. Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 12.
A=(3,-2,1) B=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos P=(1,0,1), Q=(0,1,1), A=(3,-2,1) e B=(0,0,1) e pede um ponto C na reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja tfrac12. Vamos usar a fórmula da área em espaço tridimensional via produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos a reta PQ por um parâmetro t:
C(t)=P+t,(Q-P)=(1,0,1)+t,(-1,1,0)=(1-t,;t,;1)

Passo 3

Escrevemos os vetores AB e AC:
AB=B-A=(0-3,;0-(-2),;1-1)=(-3,;2,;0),
AC=C(t)-A=(1-t-3,;t+2,;1-1)=(-2-t,;t+2,;0)

Passo 4

O produto vetorial fica perpendicular ao plano z=1, com componente
ABtimesAC=(0,0,;-3(t+2)-2(-2-t))=(0,0,,-t-2)
A área do triângulo é
Área=tfrac12l|ABtimesACr| =tfrac12,|, -t-2,| =tfrac12,|,t+2,| Á
Impondo tfrac12,|t+2|=tfrac12 leva a
|t+2|=1 Longrightarrow t+2=pm1 Longrightarrow t=-1 ou t=-3

Passo 5

Substituímos nos valores de t para achar C:
  • Se t=-1, então
C=(1-(-1),,-1,,1)=(2,,-1,,1)
  • Se t=-3, então
C=(1-(-3),,-3,,1)=(4,,-3,,1)

Resposta

Os pontos C da reta PQ que tornam a área de triang<= ABC igual a tfrac12 são
C=(2,-1,1)ou C=(4,-3,1)

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