Calcule a distância do ponto P à reta r e determine a sua projeção ortogonal P^prime nos casos
P=(0,-1,0) r:lx=2 z-1 y=z+1

Passo 1

Temos o ponto
O objetivo é calcular a distância de e a projeção ortogonal de sobre . Para isso vamos usar operações vetoriais: produto vetorial para a distância e projeção de vetor para .

Passo 2

Parametrizamos a reta fazendo z=t. Assim um ponto genérico de r é
r(t)=(-1,1,0)+t,(2,1,1),
ou seja, escolhemos o ponto base
A=(-1,1,0)
e o vetor diretor
v=(2,1,1)

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de A a P:
AP = P - A = (0-(-1),, -1-1,, 0-0) = (1,-2,0)

Passo 4

A distância de um ponto à reta em R^3 é
d = |APtimes v|| v|
Primeiro o produto vetorial:
APtimes v = (1,-2,0)times(2,1,1) = l(-2cdot1 - 0cdot1,; -l(1cdot1 - 0cdot2r),;1cdot1 -(-2)cdot2r) = (-2,-1,5)
Logo
|APtimes v| = raiz(-2)^2 +(-1)^2 +5^2 = raiz30, | v| = raiz2^2+1^2+1^2 = raiz6
Portanto
d = raiz30raiz6 = raiz5

Passo 5

A projeção ortogonal de P em r é
P' = A + APcdot v| v|^2, v
Calculamos
APcdot v = (1,-2,0)cdot(2,1,1) = 2 -2 +0 = 0,
e | v|^2 =6. Logo o fator é zero e
P' = A = (-1,1,0)

Resposta

Distância raiz5 e projeção ortogonal P'=(-1,1,0).

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