Considere a cônica cuja equação, em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=cos (theta)
(a) Identifique esta cônica (diga se é elipse, hipérbole, parábola, uma circunferência, um ponto ou duas retas);
(b) Caso seja elipse, hipérbole ou parábola, determine o foco. Caso seja circunferência, determine o centro e o raio. Caso seja um ponto ou duas retas, diga apenas que

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares pela equação
r = cos(theta)
e pede para identificar o tipo de cônica e, se for circunferência, achar centro e raio. Vamos converter para coordenadas cartesianas e trazer a equação para a forma canônica.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
r^2 = x^2 + y^2, rcos(theta) = x
Multiplicando a equação polar por r resulta
r^2 = rcos(theta) Longrightarrow x^2 + y^2 = x

Passo 3

Reescrevemos
x^2 + y^2 = x Longrightarrow x^2 - x + y^2 = 0
Para completar o quadrado em x, somamos e subtraímos tfrac14:
x^2 - x + 14 + y^2 = 14 Longrightarrow l(x - tfrac12r)^2 + y^2 = 14

Passo 4

A equação obtida
l(x - tfrac12r)^2 + y^2 = 14
é a forma canônica de uma circunferência de centro l(tfrac12,0r) e raio tfrac12.

Resposta

(a) Circunferência.
(b) Centro l(tfrac12,0r) e raio tfrac12.

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