Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
9 x^2+18 x+4 y^2-8 y-13=0
(a) Determine o (os) vértice (vértices) desta cônica;
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
9x^2+18x+4y^2-8y-13=0
e pede vértices e focos. Aqui reconhecemos que os termos em x^2 e y^2 têm sinais iguais e não há termo xy, logo é uma elipse. Para chegar à sua forma padrão, vamos completar quadrados nos dois grupos de variáveis.

Passo 2

Agrupando e completando quadrados:
9l(x^2+2xr)+4l(y^2-2yr)=13
Em cada parêntese adicionamos e subtraímos o termo necessário:
x^2+2x=(x+1)^2-1, y^2-2y=(y-1)^2-1
Substituindo na equação:
9l((x+1)^2-1r)+4l((y-1)^2-1r)=13
9(x+1)^2-9+4(y-1)^2-4=13
9(x+1)^2+4(y-1)^2=13+9+4=26

Passo 3

Colocando em forma padrão dividindo por 26:
(x+1)^226/9+(y-1)^226/4=1
Note que
264=132, 269=269,
e como tfrac132>tfrac269 tomamos
a^2=132, b^2=269,
com a no eixo y (vertical). O centro da elipse é
C=(-1,,1)

Passo 4

Vértices em torno do centro movendo-se pm a na direção y:
V1=(-1,;1+raiza^2)=l(-1,;1+raiztfrac132r), V2=(-1,;1-raiztfrac132r)
Para simplificar, raiztfrac132=tfracraiz262, então
V1=l(-1,,1+tfracraiz262r), V2=l(-1,,1-tfracraiz262r)

Passo 5

Focos: calcula-se
c^2=a^2-b^2 =132-269 =117-5218 =6518,
logo
c=raiz6518=raiz1306
Os focos ficam no eixo vertical em
F1=l(-1,;1+raiz1306r), F2=l(-1,;1-raiz1306r)

Resposta

Vértices:
l(-1,,1pmtfracraiz262r)
Focos:
l(-1,,1pmtfracraiz1306r)

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