Sejam as retas: r: x=-y+2=z-2, s: x+1=z-1 ; y=5 e a reta m ortogonal a reta s. O ponto C(3,2,5) pertence a reta m.
(a) Determine a área do triângulo P Q R, onde: P=r cap s, Q=r cap m e R=m cap s;
(b) Determine a altura do triângulo P Q R em relação ao vértice R.

Passo 1

O enunciado trata de três retas em R^3:
r dada por
x = -y + 2 = z - 2,
s dada por
x + 1 = z - 1, y = 5,
m definida como a reta que passa por C(3,2,5) e é ortogonal à reta s.
Pedem (a) a área do triângulo PQR, onde P=rcap s, Q=rcap m e R=mcap s; (b) a altura do triângulo em relação ao vértice R. Vamos usar interseções de retas, projeção ortogonal e produto vetorial.

Passo 2

Determinar P=rcap s.
Parametrize r por t:
r(t)=(x,y,z)=(t,;2-t,;2+t)
Parametrize s por u:
s(u)=(u,;5,;u+2)
Igualando coordenadas:
2-t=5implies t=-3, u=t=-3,
confere em z. Logo
P=r(-3)=(-3,5,-1)

Passo 3

Determinar R, o pé da perpendicular de C(3,2,5) em s.
Escolha um ponto em s, por ex. A=(0,5,2), e diretriz ds=(1,0,1).
A projeção de AC=(3,-3,3) em ds dá o parâmetro
u0=(3,-3,3)cdot(1,0,1)(1,0,1)cdot(1,0,1) =3+0+31+0+1= 62=3
Logo
R=s(3)=(3,5,5)

Passo 4

A reta m é a perpendicular a s que passa por C; seu vetor direção é CR=R-C=(0,3,0). Logo
m: x=3, z=5, y livre
Interseção Q=rcap m: em r(t) imponha x=3 e z=5:
t=3,2+t=5 (checkmark)implies y=2-3=-1
Portanto
Q=(3,-1,5)

Passo 5

Compute a área do triângulo PQR via
Área=12|PQtimesPR| Á
Calcule
PQ=(3-(-3),,-1-5,,5-(-1))=(6,-6,6),
PR=(3-(-3),,5-5,,5-(-1))=(6,0,6)
O produto vetorial é
PQtimesPR=(-36,0,36),
com norma raiz(-36)^2+36^2=36raiz2. Logo
Área=tfrac12cdot36raiz2=18raiz2 Á

Passo 6

Para a altura relativa ao vértice R sobre o lado PQ, use
h=2cdotÁrea|PQ| Á
|PQ|=raiz6^2+(-6)^2+6^2=6raiz3. Então
h=2cdot18raiz26raiz3 =6raiz2raiz3 =6raiztfrac23 =2raiz6

Resposta

(a) 18raiz2
(b) 2raiz6

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