Descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a equação dada.
|z-i|=2|z-1|

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos z no plano complexo tais que |z - i| = 2|z - 1|. O conteúdo é geometria analítica no plano complexo: vamos usar a interpretação de módulo como distância e representar z em coordenadas reais para achar a equação da curva.

Passo 2

Representamos z = x + i y com x,y,in,R. Assim a distância até i e até 1 é dada por
|z - i| = raizx^2 + (y - 1)^2,
|z - 1| = raiz(x - 1)^2 + y^2
Igualamos e elevamos ao quadrado:
x^2 + (y - 1)^2 = 4l((x - 1)^2 + y^2r)

Passo 3

Expandimos ambos os lados e agrupamos termos em forma geral Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0:
x^2 + y^2 - 2y + 1 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2
Simplificando:
-3x^2 - 3y^2 + 8x - 2y - 3 = 0
Multiplicando por -1 e dividindo por 3 obtemos
x^2 + y^2 - tfrac83x + tfrac23y + 1 = 0

Passo 4

Agora completamos quadrados em x e em y:
x^2 - tfrac83x = l(x - tfrac43r)^2 - tfrac169,
y^2 + tfrac23y = l(y + tfrac13r)^2 - tfrac19
Substituindo na equação e agrupando constantes ficamos com
l(x - tfrac43r)^2 + l(y + tfrac13r)^2 = tfrac89

Resposta

O locus é a circunferência de centro l(tfrac43,-tfrac13r) e raio tfrac2raiz23, ou seja
l|z - l(tfrac43 - tfraci3r)r| = tfrac2raiz23

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