Calcule a distância do ponto P=(2,0,1) à reta
r:rrr x= & -2+3 t y= & 1-t z= & 3+4 t , t in R

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(2,0,1) a uma reta r. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço: se A é um ponto na reta e vec v seu vetor direção, então
d(P,r);=;|APtimesvec v||vec v|

Passo 2

Identificamos na reta
r: x=-2+3t, y=1-t, z=3+4t
o ponto A=(-2,1,3) e o vetor direção
vec v = (3,,-1,,4)
Em seguida, formamos o vetor
AP = P - A = (2-(-2),,0-1,,1-3) = (4,,-1,,-2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial APtimesvec v:
APtimesvec v = i&j&k 4 & -1 & -2 3 & -1 & 4 = l(-6,,-22,,-1r)
A norma desse vetor é
|APtimesvec v| = raiz(-6)^2 + (-22)^2 + (-1)^2 = raiz36 + 484 + 1 = raiz521

Passo 4

Calculamos a norma de vec v:
|vec v| = raiz3^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz9 + 1 + 16 = raiz26

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d(P,r) = raiz521raiz26 = raiz52126

Resposta

boxed,d(P,r)=raiz521raiz26,

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