Estudar a posição relativa entre as retas
r:rr x-2 y+3 z=1 & (pi1) -x-y+z=4 & (pi2) e s:rr x+y+z=0 & (pi3) -2 x+y+z=3 & (pi4)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre as retas r e s, cada uma dada pela interseção de duas planas. Para isso vamos:
  1. Determinar o vetor direção de cada reta como produto vetorial dos normais das planas que a definem.
  2. Encontrar um ponto qualquer em cada reta, resolvendo o sistema de duas equações das planas.
  3. Verificar se os vetores direção são colineares (retas paralelas) e, se não, checar se há solução comum aos dois parâmetros (retas concorrentes) ou se não intersectam (retas reversas).

Passo 2

Para a reta r temos as normais
n1 = (1,-2,3), n2 = (-1,-1,1)
O vetor direção de r é
dr = n1 times n2 = i & j & k 1 & -2 & 3 -1 & -1 & 1 = (1,-4,-3)

Passo 3

Um ponto em
Por exemplo, tomando é

Passo 4

Para a reta
e o vetor direção
Um ponto em resolvendo
, . Assim

Passo 5

Comparando os vetores direção
dr = (1,-4,-3), ds = (0,-1,1),
vemos que não são múltiplos um do outro (se fossem, a primeira componente de ds seria não-zero). Logo as retas não são paralelas.

Passo 6

Para checar interseção, escrevemos
Pr + lambda,dr = Ps + mu,ds
ou seja
l(-tfrac73+lambda,,-tfrac53-4lambda,,-3lambdar) = l(-1,;1-mu,;mur)
Das duas primeiras equações obtém-se lambda=tfrac43 e mu=8, mas na terceira apareceria
-3cdottfrac43=-4neq8. Não há solução comum, portanto as retas não se cruzam.

Resposta

As retas r e s são reversas (espaçadas).

Exercícios relacionados