Calcule a distância da reta
r:l x=3+2 t y=-1-t z=-1-t , t in R
ao plano pi: x-y+3 z=1.

Passo 1

O enunciado pede a distância da reta
r: x=3+2t, y=-1-t, z=-1-t, tinR
ao plano
pi:;x - y + 3z = 1
O conteúdo é a distância entre reta e plano. Primeiro vamos ver se a reta é paralela ao plano e depois se está contida nele.

Passo 2

Extraímos a direção da reta e a normal do plano:
v=(2,,-1,,-1) e n=(1,,-1,,3).
Calculamos o produto escalar:
vcdotn =2cdot1 + (-1)cdot(-1) + (-1)cdot3 =2 + 1 - 3 =0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Para ver se a reta está dentro do plano, tomamos um ponto de r, por exemplo em t=0:
P0=(3,,-1,,-1)
Substituindo em pi: x - y + 3z = 1, temos
3 - (-1) + 3cdot(-1) = 3 + 1 - 3 = 1,
que satisfaz a equação do plano. Logo P0inpi e, como r é paralela a pi, temos rsubsetpi.

Resposta

A distância da reta ao plano é zero.

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