Faça um esboço da região R do plano dada por
R:cc 2 sen(theta) & <= r <= 2cos (theta) 0 & <= theta <= pi4

Passo 1

O enunciado define em coordenadas polares a região
R: 2sin(theta)<= r<= 2cos(theta), 0<=theta<=pi4
O objetivo é traçar um esboço no plano cartesiano. Vamos converter cada fronteira em curvas conhecidas e depois ver como elas se fecham no “corte” dado por 0<=theta<=pi/4.

Passo 2

Converter r=2sin(theta) para cartesianas. Fazendo x=rcostheta e y=rsintheta, temos
r=2sintheta Longrightarrow r^2=2rsintheta Longrightarrow x^2+y^2=2y Longrightarrow x^2+(y-1)^2=1,
ou seja, é o círculo de centro (0,1) e raio 1.

Passo 3

Converter r=tfrac2costheta. Multiplicando ambos os lados por costheta
rcostheta =2 Longrightarrow x=2,
isto é, a reta vertical x=2.

Passo 4

As fronteiras angulares são theta=0 (eixo positivo x) e theta=tfracpi4 (reta y=x, x>=0). Logo, R está contida no setor entre o eixo x e a reta y=x.

Passo 5

Em cada direção theta dentro do setor, r varia do círculo para a reta vertical, isto é, de fora para dentro de x=2. Em particular:
  • Para theta=0, temos rmin=2sin0=0 em (0,0) e rmax=2/cos0=2 em (2,0).
  • Para theta=pi/4, temos rmin=2sin(pi/4)=raiz2 em (1,1) e rmax=2/cos(pi/4)=2raiz2 em (2,2).
Assim R é o “folha” ou fatia de setor triangular limitada:
  1. pelo arco do círculo x^2+(y-1)^2=1 de (0,0) até (1,1),
  2. pela reta y=x de (1,1) até (2,2),
  3. pela reta vertical x=2 de (2,2) descendo a (2,0),
  4. e pelo eixo x de (2,0) retornando a (0,0).

Resposta

A região R é a fatia do setor 0<=theta<=pi/4 que fica entre o círculo x^2+(y-1)^2=1 e a reta vertical x=2.

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