Faça um esboço da região
do plano dada por
Passo 1
O enunciado define em coordenadas polares a região
O objetivo é traçar um esboço no plano cartesiano. Vamos converter cada fronteira em curvas conhecidas e depois ver como elas se fecham no “corte” dado por
0<=theta<=pi/4 .
Passo 2
Converter
r=2sin(theta) para cartesianas. Fazendo
x=rcostheta e
y=rsintheta , temos
ou seja, é o círculo de centro
(0,1) e raio
1 .
Passo 3
Converter
r=tfrac2costheta . Multiplicando ambos os lados por
costheta dá
isto é, a reta vertical
x=2 .
Passo 4
As fronteiras angulares são
theta=0 (eixo positivo
x ) e
theta=tfracpi4 (reta
y=x ,
x>=0 ). Logo,
R está contida no setor entre o eixo
x e a reta
y=x .
Passo 5
Em cada direção
theta dentro do setor,
r varia do círculo para a reta vertical, isto é, de fora para dentro de
x=2 . Em particular:
- Para
, temostheta=0 emrmin=2sin0=0 e(0,0) emrmax=2/cos0=2 .(2,0) - Para
, temostheta=pi/4 emrmin=2sin(pi/4)=raiz2 e(1,1) emrmax=2/cos(pi/4)=2raiz2 .(2,2)
Assim
R é o “folha” ou fatia de setor triangular limitada:
- pelo arco do círculo
dex^2+(y-1)^2=1 até(0,0) ,(1,1) - pela reta
dey=x até(1,1) ,(2,2) - pela reta vertical
dex=2 descendo a(2,2) ,(2,0) - e pelo eixo
dex retornando a(2,0) .(0,0)
Resposta
A região
R é a fatia do setor
0<=theta<=pi/4 que fica entre o círculo
x^2+(y-1)^2=1 e a reta vertical
x=2 .