Calcule a distância entre as retas r: X=(-2,-3,-1)+t(1,-4,3), t in R e s: X=(0,-1,1)+t(0,-3,3), t in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em R^3. O conteúdo aqui é a fórmula da distância entre retas reversas (ou “skew”) que usam produto vetorial:
d = l|,(B - A)cdot (v1 times v2)r||v1 times v2|,
onde A e B são pontos de cada reta e v1, v2 são os vetores diretores.

Passo 2

Identificamos das retas
rcolon X = A + t,v1 com
A = (-2,-3,-1), v1 = (1,-4,3),
e
scolon X = B + t,v2 com
B = (0,-1,1), v2 = (0,-3,3)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
v1 times v2 = l((-4)cdot3 - 3cdot(-3),;3cdot0 - 1cdot3,;1cdot(-3) - (-4)cdot0r) = (-3,,-3,,-3)
A norma desse vetor é
|v1 times v2| = raiz(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2 = raiz27 = 3raiz3

Passo 4

Determinamos o vetor que liga A a B:
B - A = (0-(-2),,-1-(-3),,1-(-1)) = (2,2,2)
O produto escalar com v1times v2
(B - A)cdot (v1times v2) = (2,2,2)cdot(-3,-3,-3) = -18,
cujo valor absoluto é 18.

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d = 183raiz3 = 6raiz3 = 2raiz3

Resposta

A distância entre r e s é 2raiz3.

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