e então tomar a interseção (os x que satisfazem ambas).
Passo 3
Vamos simplificar cada uma das duas desigualdades.
Primeira desigualdade:
x^{2}-4x+2 \leq 2.
Subtraindo 2 de ambos os lados obtemos
x^{2}-4x \leq 0.
Segunda desigualdade:
x^{2}-4x+2 \geq -2.
Somando 2 em ambos os lados obtemos
x^{2}-4x+4 \geq 0.
Passo 4
Resolver a primeira desigualdade x^{2}-4x \leq 0.
Fatoramos:
x^{2}-4x = x(x-4).
Então queremos x(x-4) \leq 0. Este é um produto de dois fatores que muda de sinal nas raízes x=0 e x=4. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola x^{2}-4x é negativa entre as raízes e positiva fora. Portanto a desigualdade \leq 0 é satisfeita para os x entre as raízes, inclusive. Conclusão:
x(x-4)\leq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\in[0,4].
Passo 5
Resolver a segunda desigualdade x^{2}-4x+4 \geq 0.
Reconhecemos o trinômio como quadrado perfeito:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Então a desigualdade é
(x-2)^{2} \geq 0.
Um quadrado de número real é sempre maior ou igual a zero para todo x. Portanto esta desigualdade é verdadeira para qualquer x\in\mathbb{R}.
Passo 6
Interseção das soluções das duas desigualdades. A primeira deu x\in[0,4]. A segunda é satisfeita por todo x\in\mathbb{R}. A interseção é portanto
x\in[0,4].
Podemos fazer umas checagens rápidas: tomar x=0 tem |0^{2}-4\cdot0+2|=|2|=2 (ok); tomar x=2 tem |2^{2}-8+2|=|4-8+2|=| -2|=2 (ok); tomar x=4 tem |16-16+2|=|2|=2 (ok); tomar x=5 tem |25-20+2|=|7|=7>2 (fora). Isso confirma que a solução é o intervalo fechado [0,4].