Encontre os valores de x que satisfaçam as desigualdades abaixo:
\left|x^{2}-4 x+2\right| \leq 2;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade
\left|x^{2}-4x+2\right| \leq 2.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-4x+2.
  • A desigualdade exige que o valor absoluto dessa expressão seja menor ou igual a 2.

Passo 2

Entendendo o que significa uma desigualdade com valor absoluto. Para qualquer expressão f(x) vale a equivalência
\left|f(x)\right| \leq a \quad\Longleftrightarrow\quad -a \leq f(x) \leq a,
desde que a\geq0. Aqui temos f(x)=x^{2}-4x+2 e a=2. Logo podemos substituir a desigualdade por uma desigualdade composta:
-2 \leq x^{2}-4x+2 \leq 2.
Isto significa que precisamos resolver simultaneamente as duas desigualdades
x^{2}-4x+2 \leq 2 \quad\text{e}\quad x^{2}-4x+2 \geq -2,
e então tomar a interseção (os x que satisfazem ambas).

Passo 3

Vamos simplificar cada uma das duas desigualdades.
Primeira desigualdade:
x^{2}-4x+2 \leq 2.
Subtraindo 2 de ambos os lados obtemos
x^{2}-4x \leq 0.
Segunda desigualdade:
x^{2}-4x+2 \geq -2.
Somando 2 em ambos os lados obtemos
x^{2}-4x+4 \geq 0.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade x^{2}-4x \leq 0.
Fatoramos:
x^{2}-4x = x(x-4).
Então queremos x(x-4) \leq 0. Este é um produto de dois fatores que muda de sinal nas raízes x=0 e x=4. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola x^{2}-4x é negativa entre as raízes e positiva fora. Portanto a desigualdade \leq 0 é satisfeita para os x entre as raízes, inclusive. Conclusão:
x(x-4)\leq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\in[0,4].

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade x^{2}-4x+4 \geq 0.
Reconhecemos o trinômio como quadrado perfeito:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Então a desigualdade é
(x-2)^{2} \geq 0.
Um quadrado de número real é sempre maior ou igual a zero para todo x. Portanto esta desigualdade é verdadeira para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Interseção das soluções das duas desigualdades. A primeira deu x\in[0,4]. A segunda é satisfeita por todo x\in\mathbb{R}. A interseção é portanto
x\in[0,4].
Podemos fazer umas checagens rápidas: tomar x=0 tem |0^{2}-4\cdot0+2|=|2|=2 (ok); tomar x=2 tem |2^{2}-8+2|=|4-8+2|=| -2|=2 (ok); tomar x=4 tem |16-16+2|=|2|=2 (ok); tomar x=5 tem |25-20+2|=|7|=7>2 (fora). Isso confirma que a solução é o intervalo fechado [0,4].

Resposta

\displaystyle x\in[0,4]

Exercícios relacionados