Calcule a distância entre os pontos A\left(2, \frac{\pi}{3}\right) e B\left(2, \frac{4 \pi}{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos escritos como pares \left(2, \frac{\pi}{3}\right) e \left(2, \frac{4\pi}{3}\right) e pede a distância entre eles.
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro ponto: A com coordenadas \left(2, \frac{\pi}{3}\right).
  • Segundo ponto: B com coordenadas \left(2, \frac{4\pi}{3}\right).
  • O que se pede: a distância entre A e B.

Passo 2

Interpretação dos pares de números: como a segunda componente é um ângulo ( \pi/3 e 4\pi/3), a maneira natural é entender esses pares como coordenadas polares (r,\theta), ou seja, r=2 e \theta igual a \pi/3 e 4\pi/3. Vou transformar para coordenadas cartesianas e usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Também mostrarei uma alternativa curta usando a relação direta em coordenadas polares para reforçar o entendimento.

Passo 3

Lembrete (fórmulas que vamos usar):
  • Conversão de coordenadas polares (r,\theta) para cartesianas (x,y):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Expliquei: r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Essas fórmulas vêm do triângulo retângulo formado pelas projeções sobre os eixos.
  • Fórmula da distância entre dois pontos cartesianos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.
Expliquei: isso é o teorema de Pitágoras aplicado à diferença dos vetores posição.

Passo 4

Converto A\left(2,\frac{\pi}{3}\right) para cartesianas usando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta:
x_A = 2\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right),\qquad y_A = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Avalio os trigonométricos conhecidos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
x_A = 2\cdot\frac{1}{2}=1,\qquad y_A = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Conclusão: A = \bigl(1,\sqrt{3}\bigr).

Passo 5

Converto B\left(2,\frac{4\pi}{3}\right) para cartesianas:
x_B = 2\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right),\qquad y_B = 2\sin\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).
Avalio os trigonométricos:
\cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
x_B = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1,\qquad y_B = 2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3}.
Conclusão: B = \bigl(-1,-\sqrt{3}\bigr).

Passo 6

Agora aplico a fórmula da distância entre A(1,\sqrt{3}) e B(-1,-\sqrt{3}):
d = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.
Substituindo:
x_B-x_A = -1-1 = -2,\qquad y_B-y_A = -\sqrt{3}-\sqrt{3} = -2\sqrt{3}.
Elevo ao quadrado:
(-2)^2 = 4,\qquad (-2\sqrt{3})^2 = 4\cdot 3 = 12.
Somando e extraindo raiz:
d = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4.

Passo 7

Método alternativo (mais curto, só para entendimento): para dois pontos em coordenadas polares (r,\theta_1) e (r,\theta_2) com o mesmo r a distância é a corda do círculo:
d = 2r\left|\sin\!\left(\frac{\theta_2-\theta_1}{2}\right)\right|.
Aqui r=2 e \theta_2-\theta_1=\dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=\pi. Logo
d = 2\cdot 2\left|\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\right| = 4\cdot 1 = 4.
Interpretação geométrica: os pontos estão em direções opostas no mesmo círculo de raio 2, ou seja, são extremos de um diâmetro de comprimento 4.

Resposta

4

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