Calcule a distância entre os pontos A\left(2, \frac{\pi}{3}\right) e B\left(2, \frac{4 \pi}{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá dois pontos escritos como pares \left(2, \frac{\pi}{3}\right) e \left(2, \frac{4\pi}{3}\right) e pede a distância entre eles.
Informações relevantes fornecidas:
Primeiro ponto: A com coordenadas \left(2, \frac{\pi}{3}\right).
Segundo ponto: B com coordenadas \left(2, \frac{4\pi}{3}\right).
O que se pede: a distância entre A e B.
Passo 2
Interpretação dos pares de números: como a segunda componente é um ângulo (\pi/3 e 4\pi/3), a maneira natural é entender esses pares como coordenadas polares (r,\theta), ou seja, r=2 e \theta igual a \pi/3 e 4\pi/3. Vou transformar para coordenadas cartesianas e usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Também mostrarei uma alternativa curta usando a relação direta em coordenadas polares para reforçar o entendimento.
Passo 3
Lembrete (fórmulas que vamos usar):
Conversão de coordenadas polares (r,\theta) para cartesianas (x,y):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Expliquei: r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Essas fórmulas vêm do triângulo retângulo formado pelas projeções sobre os eixos.
Fórmula da distância entre dois pontos cartesianos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.
Expliquei: isso é o teorema de Pitágoras aplicado à diferença dos vetores posição.
Passo 4
Converto A\left(2,\frac{\pi}{3}\right) para cartesianas usando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta:
Método alternativo (mais curto, só para entendimento): para dois pontos em coordenadas polares (r,\theta_1) e (r,\theta_2) com o mesmo r a distância é a corda do círculo:
d = 2r\left|\sin\!\left(\frac{\theta_2-\theta_1}{2}\right)\right|.
Aqui r=2 e \theta_2-\theta_1=\dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=\pi. Logo
d = 2\cdot 2\left|\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\right| = 4\cdot 1 = 4.
Interpretação geométrica: os pontos estão em direções opostas no mesmo círculo de raio 2, ou seja, são extremos de um diâmetro de comprimento 4.