Descreva a região definida por r \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva a região do plano dada pela desigualdade r \geq 2. A informação fornecida é apenas essa desigualdade em coordenadas polares; não há outras restrições sobre o ângulo \theta, então \theta percorre todos os valores habituais (por exemplo 0 \leq \theta < 2\pi ou todos os reais, com repetição).

Passo 2

Lembrando o que significa r em coordenadas polares: r é a distância do ponto ao polo (origem). As fórmulas de mudança de coordenadas entre polares e cartesianas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e também vale
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui r\geq 0 por definição. Essas fórmulas significam que r mede literalmente o comprimento do vetor que vai da origem até o ponto (x,y).

Passo 3

Aplicando r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} na desigualdade dada obtemos uma descrição equivalente em coordenadas cartesianas:
r \geq 2 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2} \geq 4.
Isto é, a região é o conjunto de todos os pontos cujo quadrado da distância ao origem é maior ou igual a 4.

Passo 4

Interpretação geométrica: a curva x^{2}+y^{2}=4 é o círculo de centro na origem e raio 2. A desigualdade x^{2}+y^{2}\geq 4 representa todos os pontos que estão sobre esse círculo ou fora dele. Em coordenadas polares isso corresponde a todos os pares (r,\theta) com
r\geq 2\quad\text{e}\quad 0\leq\theta<2\pi
(ou seja, para todo \theta o raio parte de 2 e vai até infinito).

Passo 5

Propriedades úteis da região (úteis para provas ou aplicações rápidas):
  • A fronteira da região é o círculo dado por r=2 (ou x^{2}+y^{2}=4), cujo parâmetro é x=2\cos\theta,\qquad y=2\sin\theta,\qquad 0\leq\theta<2\pi.
  • A região é fechada (contém sua fronteira) e não é limitada (é ilimitada para o exterior — vai até o infinito).
  • Há um “buraco” no sentido de que a origem e todos os pontos com r<2 não pertencem à região; por isso um laço que rodeie a origem não pode ser continuamente encolhido até um ponto sem sair da região.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • O ponto (3,0) tem r=3\geq 2, portanto pertence à região.
  • O ponto (2,0) tem r=2 e está na fronteira; pertence à região.
  • O ponto (0,0) tem r=0<2 e não pertence à região.

Resposta

A região é o conjunto dos pontos do plano com x^{2}+y^{2}\geq 4: o exterior do círculo de raio 2 centrado na origem, incluindo a fronteira r=2.

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