Descreva a região definida por
.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva a região do plano dada pela desigualdade
. A informação fornecida é apenas essa desigualdade em coordenadas polares; não há outras restrições sobre o ângulo
, então
percorre todos os valores habituais (por exemplo
ou todos os reais, com repetição).
Passo 2
Lembrando o que significa
em coordenadas polares:
é a distância do ponto ao polo (origem). As fórmulas de mudança de coordenadas entre polares e cartesianas são
e também vale
Aqui
por definição. Essas fórmulas significam que
mede literalmente o comprimento do vetor que vai da origem até o ponto
.
Passo 3
Aplicando
na desigualdade dada obtemos uma descrição equivalente em coordenadas cartesianas:
Isto é, a região é o conjunto de todos os pontos cujo quadrado da distância ao origem é maior ou igual a
.
Passo 4
Interpretação geométrica: a curva
é o círculo de centro na origem e raio
. A desigualdade
representa todos os pontos que estão sobre esse círculo ou fora dele. Em coordenadas polares isso corresponde a todos os pares
com
(ou seja, para todo
o raio parte de
e vai até infinito).
Passo 5
Propriedades úteis da região (úteis para provas ou aplicações rápidas):
- A fronteira da região é o círculo dado por
(ou ), cujo parâmetro é - A região é fechada (contém sua fronteira) e não é limitada (é ilimitada para o exterior — vai até o infinito).
- Há um “buraco” no sentido de que a origem e todos os pontos com
não pertencem à região; por isso um laço que rodeie a origem não pode ser continuamente encolhido até um ponto sem sair da região.
Passo 6
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- O ponto
tem , portanto pertence à região. - O ponto
tem e está na fronteira; pertence à região. - O ponto
tem e não pertence à região.
Resposta
A região é o conjunto dos pontos do plano com
: o exterior do círculo de raio
centrado na origem, incluindo a fronteira
.