Converta para retangular: r=2 \csc \theta.

Passo 1

O enunciado dá a equação em coordenadas polares
r=2\csc\theta
e pede para convertê-la para coordenadas retangulares (cartesianas).
Informações fornecidas:
  • A equação polar é \,r=2\csc\theta.\n
    O que precisa ser obtido:
  • A forma equivalente em coordenadas retangulares, ou seja, uma relação entre x e y.

Passo 2

Relembre as relações básicas entre coordenadas polares (r,\theta) e retangulares (x,y). Essas fórmulas são essenciais e devem ser lembradas na hora da prova:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui:
  • \,x e \,y são as coordenadas cartesianas do ponto;
  • \,r é a distância do ponto à origem (sempre \ge 0 se preferirmos a forma padrão);
  • \,\theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.

Passo 3

Lembre também o significado de \csc\theta. Por definição:
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}.
Aplicando isso à equação dada obtemos uma forma mais manipulável:
r = 2\csc\theta \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{2}{\sin\theta}.

Passo 4

Multiplique ambos os lados por \sin\theta (atenção: não estamos multiplicando por zero porque, se \sin\theta=0, o membro direito original estaria indefinido; isso será comentado depois). Fazendo a multiplicação:
r\sin\theta = 2.
Agora use a relação polar-rectangular \,y=r\sin\theta. Substituindo:
y = 2.
Essa é a forma retangular buscada: uma reta horizontal com ordenada 2.

Passo 5

Interpretação e observações úteis para a prova:
  • A equação retangular \,y=2 representa a reta horizontal que passa por todos os pontos com ordenada igual a 2, ou seja, todos os (x,2) com x\in\mathbb{R}.
  • Sobre a questão da definição: a equação polar original \,r=2\csc\theta é indefinida quando \sin\theta=0, mas esses \theta correspondem a pontos com y=0, que não fazem parte da reta y=2. Assim, não há perda de pontos ao passar para \,y=2.
  • Verificação prática (exemplo): escolha o ponto (3,2). Calcula-se r=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13} e \sin\theta = \dfrac{y}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}. Então
2\csc\theta = 2\cdot\frac{1}{\sin\theta} = 2\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}=r,
logo o ponto satisfaz a equação polar original — consistente com \,y=2.

Resposta

y=2

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