Calcule a distância entre os pontos P e Q, nos casos:
(a) P=(0,-1,0), Q=(-1,1,0).
(b) P=(-1,-3,4), Q=(1,2,-8).
(c) pi1: 2 x-y+2 z-1
pi2: 4 x-2 y+4 z=0
(d) pi1: x-y+2 z-2=0 pi2: X=(0,0,1)+lambda(1,0,3)+mu(-1,1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá dois tipos de distâncias no espaço tridimensional: entre pontos e entre planos.
Para pontos P=(xP,yP,zP) e Q=(xQ,yQ,zQ) usamos a fórmula da distância Euclidiana
d(P,Q) = raiz(xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2 + (zQ - zP)^2
Para planos paralelos definidos por
pi1: a x + b y + c z + d1 = 0, pi2: a x + b y + c z + d2 = 0,
a distância é
d(pi1,pi2) = l|d2 - d1r|raiza^2 + b^2 + c^2
Se os planos não são paralelos, eles se interceptam e a distância é zero.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de distância entre pontos aos itens (a) e (b). Definimos
De<a x = xQ - xP, De<a y = yQ - yP, De<a z = zQ - zP,
d = raizDe<a x^2 + De<a y^2 + De<a z^2
(a) P=(0,-1,0), Q=(-1,1,0)
De<a x = -1 - 0 = -1, De<a y = 1 - (-1) = 2, De<a z = 0 - 0 = 0
d = raiz(-1)^2 + 2^2 + 0^2 = raiz1 + 4 = raiz5
(b) P=(-1,-3,4), Q=(1,2,-8)
De<a x = 1 - (-1) = 2, De<a y = 2 - (-3) = 5, De<a z = -8 - 4 = -12
d = raiz2^2 + 5^2 + (-12)^2 = raiz4 + 25 + 144 = raiz173

Passo 3

No item (c) temos
pi1: 2x - y + 2z - 1 = 0, pi2: 4x - 2y + 4z = 0
Os vetores normais são n1 = (2,-1,2) e n2 = (4,-2,4)=2n1, logo os planos são paralelos. Padronizando pi2 para
2x - y + 2z + 0 = 0,
temos d1 = -1, d2 = 0 e
|n1| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 3.
Assim,
d(pi1,pi2) = |0 - (-1)|3 = 13

Passo 4

No item (d) temos
pi1: x - y + 2z - 2 = 0,
pi2: X = (0,0,1) + lambda,(1,0,3) + mu,(-1,1,1)
Um normal a pi2 é
(1,0,3)times(-1,1,1) = (-3,-4,1)
Como (-3,-4,1) não é múltiplo de (1,-1,2), os planos não são paralelos e, portanto, se interceptam. De fato, o ponto (0,0,1)inpi2 satisfaz pi1. Logo
d(pi1,pi2) = 0

Resposta

(a) raiz5
(b) raiz173
(c) tfrac13
(d) 0

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