Mostre que os planos
são transversais, qualquer que seja o número real m.
(a) r: x=y-z=0 pi: z=0
(b) r: x=y=z pi: z=0
(c) r: X=(0,0,1)+lambda(-1,1,0) pi: 3 x+4 y=0
(d) r: X=(1,0,0)+lambda(1,1,-2) pi: x+y-z=1
(e) r: x-2 z=y+2 z=1 pi: raiz457 x+y+2 z=10
Passo 1
O enunciado nos dá dois planos em forma paramétrica
e
,
onde . Queremos mostrar que esses planos são transversais, isto é, que seus vetores normais não são colineares para qualquer .
n2 =u2timesv2 = i&j&k m & 1 & 0 1 & 0 & m =(m,;-m^2,;-1)
Passo 6
Se pi1 e pi2 fossem paralelos, seus normais seriam colineares, ou seja, existiria lambda tal que
(m,,3,,-2m) =lambda,(m,,-m^2,,-1)
Se mneq0 isso obrigaria lambda=1 pela primeira coordenada, mas então a segunda daria 3=-m^2, impossível em R. Se m=0, temos n1=(0,3,0) e n2=(0,0,-1), claramente não colineares. Logo, para todo m, n1 e n2 são linearmente independentes.
Resposta
Os planos pi1 e pi2 são transversais para qualquer valor real de m.