Mostre que os planos
pi1:lx=-lambda+2 mu y=m lambda z=lambda+mu pi2:lx=1+m lambda+mu y=2+lambda z=3+m mu
são transversais, qualquer que seja o número real m.
(a) r: x=y-z=0
pi: z=0
(b) r: x=y=z
pi: z=0
(c) r: X=(0,0,1)+lambda(-1,1,0) pi: 3 x+4 y=0
(d) r: X=(1,0,0)+lambda(1,1,-2) pi: x+y-z=1
(e) r: x-2 z=y+2 z=1
pi: raiz457 x+y+2 z=10

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos em forma paramétrica
e
,
onde . Queremos mostrar que esses planos são transversais, isto é, que seus vetores normais não são colineares para qualquer .

Passo 2

Em pi1, os vetores diretores são
u1=(-1,;m,;1), v1=(2,;0,;1)

Passo 3

O vetor normal de pi1 é
n1 =u1timesv1 = i&j&k -1 & m & 1 2 & 0 & 1 =(m,;3,;-2m)

Passo 4

Em pi2, os vetores diretores são
u2=(m,;1,;0), v2=(1,;0,;m)

Passo 5

O vetor normal de pi2 é
n2 =u2timesv2 = i&j&k m & 1 & 0 1 & 0 & m =(m,;-m^2,;-1)

Passo 6

Se pi1 e pi2 fossem paralelos, seus normais seriam colineares, ou seja, existiria lambda tal que
(m,,3,,-2m) =lambda,(m,,-m^2,,-1)
Se mneq0 isso obrigaria lambda=1 pela primeira coordenada, mas então a segunda daria
3=-m^2, impossível em R. Se m=0, temos n1=(0,3,0) e n2=(0,0,-1), claramente não colineares. Logo, para todo m, n1 e n2 são linearmente independentes.

Resposta

Os planos pi1 e pi2 são transversais para qualquer valor real de m.

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