Calcule a distância entre a reta r e o plano pi.
(a) r: x=y-1=z+3 pi: 2 x+y-3 z=10
(b) r é o eixo das abscissas pi: y+z=raiz2
(c) r: x-y+z=0=2 x+y-z-3 pi: y-z=4
(d) r: X=(1,1,1)+lambda(1,0,2) pi é paralelo a r e contém s: x+y=z+2 y=2
(e) r: X=(1,9,4)+lambda(3,3,3) pi: X=(5,7,9)+lambda(1,0,0)+mu(0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a distância entre uma reta r e um plano pi em cinco situações diferentes. O conteúdo é geometria analítica no espaço. Para resolver cada item, vamos precisar de:
  1. O vetor diretor vr da reta.
  2. O vetor normal npi do plano.
  3. Verificar se vrcdotnpineq0 (reta não paralela ao plano Rightarrow intersecta Rightarrow distância 0) ou vrcdotnpi=0 (reta paralela Rightarrow distância dada pela fórmula de ponto ao plano).

Passo 2

Se a reta for paralela ao plano ( vrcdotnpi=0), a distância é
d=l|npicdotP0 - Dr||npi|,
onde P0 é um ponto qualquer da reta e o plano tem equação npicdotX=D.
Se não for paralela, então d=0.

Passo 3

Item (a):
A reta r tem forma x=y-1=z+3. Tomando parâmetro t=y, um ponto é P0=(-1,0,-3) e vr=(1,1,1).
O plano pi tem equação 2x+y-3z=10, logo npi=(2,1,-3).
Calculamos vrcdotnpi=2+1-3=0, então são paralelos e
d=l|2(-1)+1cdot0-3(-3)-10r|raiz2^2+1^2+(-3)^2 =l|-2+9-10r|raiz14 =3raiz14

Passo 4

Item (b):
A reta r é o eixo x, então vr=(1,0,0) e um ponto é P0=(0,0,0).
O plano pi é y+z=raiz2, com npi=(0,1,1).
Temos vrcdotnpi=0, são paralelos, e
d=l|0+0-raiz2r|raiz0^2+1^2+1^2 =raiz2raiz2 =1

Passo 5

Item (c):
A reta
Os vetores normais são , então
.
O plano é com .
Verificamos , logo são paralelos. Um ponto de obtido resolvendo dá .

Passo 6

Item (d):
A reta
cujo vetor diretor é é paralelo a , seu normal é .
Um ponto de é, por exemplo, de , e a equação do plano fica .
Então

Passo 7

Item (e):
A reta r é X=(1,9,4)+lambda(3,3,3) com vr=(3,3,3).
O plano pi tem forma X=(5,7,9)+alpha(1,0,0)+beta(0,1,0), logo npi=(0,0,1).
Calculamos vrcdotnpi=3neq0, o que significa que r intersecta pi.
Portanto a distância é d=0.

Resposta

(a) 3raiz14
(b) 1
(c) 3raiz2
(d) 1raiz5
(e) 0

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