Calcule a distância entre a reta e o plano .
(a)
(b) é o eixo das abscissas
(c)
(d) é paralelo a e contém
(e) .
Passo 1
O enunciado pede a distância entre uma reta e um plano em cinco situações diferentes. O conteúdo é geometria analítica no espaço. Para resolver cada item, vamos precisar de:
O vetor diretor da reta.
O vetor normal do plano.
Verificar se (reta não paralela ao plano intersecta distância ) ou (reta paralela distância dada pela fórmula de ponto ao plano).
Passo 2
Se a reta for paralela ao plano (), a distância é
onde P0 é um ponto qualquer da reta e o plano tem equação npicdotX=D.
Se não for paralela, então d=0.
Passo 3
Item (a):
A reta r tem forma x=y-1=z+3. Tomando parâmetro t=y, um ponto é P0=(-1,0,-3) e vr=(1,1,1).
O plano pi tem equação 2x+y-3z=10, logo npi=(2,1,-3).
Calculamos vrcdotnpi=2+1-3=0, então são paralelos e
Item (b):
A reta r é o eixo x, então vr=(1,0,0) e um ponto é P0=(0,0,0).
O plano pi é y+z=raiz2, com npi=(0,1,1).
Temos vrcdotnpi=0, são paralelos, e
d=l|0+0-raiz2r|raiz0^2+1^2+1^2 =raiz2raiz2 =1
Passo 5
Item (c):
A reta
Os vetores normais são , então
.
O plano é com .
Verificamos , logo são paralelos. Um ponto de obtido resolvendo dá .
Passo 6
Item (d):
A reta
cujo vetor diretor é é paralelo a , seu normal é .
Um ponto de é, por exemplo, de , e a equação do plano fica .
Então
Passo 7
Item (e):
A reta r é X=(1,9,4)+lambda(3,3,3) com vr=(3,3,3).
O plano pi tem forma X=(5,7,9)+alpha(1,0,0)+beta(0,1,0), logo npi=(0,0,1).
Calculamos vrcdotnpi=3neq0, o que significa que r intersecta pi.
Portanto a distância é d=0.