Seja theta=ang(r, s). Calcule sen theta nos casos (a) e (b), e cos theta nos casos (c) e (d):
(a) r: X=(-52, 2,0)+lambda(12, 1,1) s: z=3 x=2 y-16
(b) r: X=(3,-2,0)+lambda(1,-1, raiz2) s: X=(-2,3,-5)+lambda(1,1, raiz2)
(c) r:lx+3 z=7 y=0 s:lx-4 y-2 z=5 y=0
(d) r: x=1-y2=z3 s:l3 x+y-5 z=0 x-2 y+3 z=-1

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas no espaço, calculando nos itens (a) e (b) e nos itens (c) e (d). Para isso precisamos obter as vetores diretoras e de cada reta e então usar

Passo 2

(a) A reta r é X=(-tfrac52,2,0)+lambda(tfrac12,1,1), logo u=(tfrac12,1,1). A reta s vem das interseções
z=3, x=2y-16,
então tomamos parâmetro tmapsto y=t, x=2t-16, z=3, obtendo v=(2,1,0). Calculamos o produto vetorial
utimes v = i & j & k tfrac12 & 1 & 1 2 & 1 & 0 =(-1,2,-tfrac32),
| utimes v|=raiz292, | u|=32, | v|=raiz5
Logo
sentheta =| utimes v|| u|| v| =tfracraiz292tfrac32cdotraiz5 =raiz293raiz5

Passo 3

(b) As retas são
r:(3,-2,0)+lambda(1,-1,raiz2), s:(-2,3,-5)+mu(1,1,raiz2),
logo u=(1,-1,raiz2) e v=(1,1,raiz2). Fazendo
utimes v =( -2raiz2,,0,,2 ), | utimes v|=2raiz3, | u|=| v|=2,
vem
sentheta =2raiz32cdot2 =raiz32

Passo 4

(c) r é interseção de x+3z=7 e y=0 (normais (1,0,3), (0,1,0)), dando
u=(1,0,3)times(0,1,0)=(-3,0,1), | u|=raiz10
s é interseção de x-4y-2z=5 e y=0 (normais (1,-4,-2), (0,1,0)), dando
v=(1,-4,-2)times(0,1,0)=(2,0,1), | v|=raiz5
O produto escalar é ucdot v=-5, de modo que
costheta =| ucdot v|| u|| v| =5raiz10,raiz5 =1raiz2

Passo 5

(d) A reta r satisfaz x=1-y2= z3. Tomando parâmetro y=t, obtemos
x=1-t2, z=3(1-t)2 ;Longrightarrow; u=(-tfrac12,1,-tfrac32)sim(-1,2,-3), | u|=raiz14
A reta s vem de
3x+y-5z=0, x-2y+3z=-1
(com normais (3,1,-5) e (1,-2,3)), logo
v=(3,1,-5)times(1,-2,3)=(-7,-14,-7), | v|=7raiz6
Como ucdot v=0, segue
costheta =0

Resposta

(a) sentheta=dfracraiz293raiz5
(b) sentheta=dfracraiz32
(c) costheta=dfrac1raiz2
(d) costheta=0

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